Непрерывные случайные величины. Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют переменную величину, которая может принимать все значения из некоторого промежутка

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют переменную величину, которая может принимать все значения из некоторого промежутка. Так как непрерывную случайную величину невозможно задать с помощью закона распределения, вводят функцию распределения. Функция распределения есть вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х, то есть

.

Функция плотности равна производной от функции , то есть

.

Функцию распределения называют интегральной функцией, а функцию плотности называют дифференциальной функцией.

Если известна функция , то можно найти по формуле

.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал

можно вычислить, используя функцию , по формуле

или, используя функцию , по формуле

.

Примечание. Так как для непрерывной случайной величины вероятность попадания в точку равна нулю, то

.

Если значения непрерывной случайной величины заключены в интервале , то справедливы следующие формулы:

,

,

или ,

.

Пример 1. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

1) Построить график .

2) Найти функцию плотности и построить ее график.

3) Найти :

а) используя функцию распределения ;

б) используя функцию плотности .

4) Найти вероятность того, что в 100 независимых испытаниях непрерывная случайная величина Х хотя бы один раз попадет в интервал .

5) Найти математическое ожидание случайной величины Х.

6) Найти дисперсию случайной величины Х:

а) по определению;

б) по «рабочей» формуле.

Решение. 1) График функции изображен на рисунке 9.

F (х)

F (х)

0 2 3 х

Рисунок 9

2) Запишем аналитическое выражение функции плотности :

График функции изображен на рисунке 10.

f (х)

2

f (х)

0 2 3 х

Рисунок 10

3а) Вычислим вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал , используя функцию , по формуле

:

.

3б) Вычислим , используя плотность распределения:

.

4) Используем схему повторных независимых испытаний:

	Искомую вероятность удобнее найти через вероятность противоположного события: ,
	,

Тогда

,

то есть попадание непрерывной случайной величины Х хотя бы один раз в интервал в 100 независимых испытаниях практически достоверно.

5) Математическое ожидание

6а) Найдем дисперсию, используя определение:

6б) Вычислим дисперсию по «рабочей» формуле:

7) Среднее квадратическое отклонение:

.

Пример 2. Непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности :

Найти функцию распределения . Построить графики функций и .

Решение. 1) Используем формулу . Так как подынтегральная функция меняет свое аналитическое выражение, то будем рассматривать х на промежутках , и (рисунок 11).

f (х) 0 sin x 0

0 х

Рисунок 11

1. Пусть .

.

2. Пусть .

3. Пусть .

Запишем аналитическое выражение для функции :

2) Построим графики функций и .

f (х)

1 f (х)

0 х

Рисунок 12

F (х)

F (х)

1

0 х

Рисунок 13

Пример 3. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Х	–3
р	0,2	0,3	0,5

Найти – функцию распределения дискретной случайной величины Х. Построить ее график.

Решение. Используем определение функции : .

1. Пусть (рисунок 14).

Х

х –3 0 7

Рисунок 14

Так как значений, меньших (–3), случайная величина не принимает, то

.

2. Пусть (рисунок 15).

Х

–3 х 0 7

Рисунок 15

.

3. Пусть (рисунок 16).

Х

–3 0 х 7

Рисунок 16

.

4. Пусть (рисунок 17).

Х

–3 0 7 х

Рисунок 17

.

Запишем аналитическое выражение функции :

Изобразим график функции (рисунок 18).

F (x)

0,5

0,2

–3 0 7 х

Рисунок 18

Заметим, что в точках разрыва величины скачков функции 0,2; 0,3; 0,5 равны соответственно , , .

Пример 4. Задан график функции плотности непрерывной случайной величины Х (рисунок 19). Найти параметр С.

у

С х

Рисунок 19

Решение. По графику функции плотности можно сделать вывод, что все возможные значения непрерывной случайной величины Х заключены в интервале . Тогда

.

Исходя из геометрического смысла определенного интеграла следует, что площадь фигуры, ограниченной функцией плотности и осью Ох, равна 1.

.

Отсюда .