Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Дискретные случайные величины. Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют переменную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа



Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют переменную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Закон распределения можно задать таблицей (таблица 3), графически или аналитически.

Таблица 3 – Закон распределения дискретной случайной величины Х

Х х 1 х 2 х 3 хп
р р 1 р 2 р 3 рп

Для закона распределения дискретной случайной величины должно выполняться условие:

.

Для описания случайной величины в целом используют числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение (таблица 4).

Таблица 4 – Числовые характеристики дискретных случайных величин

Обозначение Название Формула
математическое ожидание
дисперсия – определение – «рабочая формула»
среднее квадратическое отклонение (СКО)

Числовые характеристики случайных величин обладают свойствами, приведенными в таблице 5. При этом Х и У – независимые случайные величины, а С – константа.

Таблица 5 – Свойства числовых характеристик случайных величин

Математическое ожидание Дисперсия
––

В таблице 6 приведены частные виды распределений дискретных случайных величин, имеющих наиболее важное значение в теории вероятностей и математической статистике.

Таблица 6 – Частные виды распределений дискретных случайных величин

Название вида распределения Вероятность Математическое ожидание Дисперсия
Биномиальное распределение   , где (формула Бернулли)  
Распределение Пуассона , где и (формула Пуассона)  
Геометрическое распределение , где

Пример 1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Наудачу берут 3 шара. Составить закон распределения числа белых шаров среди трех взятых. Построить полигон (многоугольник) распределения вероятностей. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа белых шаров среди трех взятых.

Решение. Введем дискретную случайную величину Х – число белых шаров среди трех взятых наудачу. Возможные значения этой случайной величины 0, 1, 2. Найдем соответствующие вероятности:

или ;

;

.

Запишем закон распределения Х:

Х        
р 0,1 0,6 0,3  

Проверка: .

Полигон распределения вероятностей:

р

0,6

0,3

0,1

0 1 2 х

Рисунок 8

Найдем математическое ожидание :

– приближенно

равно среднему значению случайной величины Х.

Вычислим дисперсию , используя определение:

Вычисления удобно производить с помощью таблицы:

–1,2 –0,2 0,8
1,44 0,04 0,64
р 0,1 0,6 0,3

Найдем дисперсию по «рабочей формуле»:

.

Х 2      
р 0,1 0,6 0,3

(Заметим, что дисперсию удобнее вычислять по «рабочей» формуле.)

Среднее квадратическое отклонение :

.

Пример 2. Известны законы распределения случайных величин Х и У:

Х –1       У –2  
р 0,2 0,3 0,5 р 0,3 0,7

1) Составить закон распределения случайной величины .

2) Найти и :

а) используя закон распределения случайной величины ;

б) пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии.

Решение. 1) Составим закон распределения случайной величины :

2 Х У –2 0,2 0,3 0,5
–2 0,3 –4 0,06 –2 0,09 0,15
0,7 –2 0,14 0,21 0,35
–4 –2 0 –2    
р 0,06 0,09 0,15 0,14 0,21 0,35

Упростим полученный ряд, объединив одинаковые значения случайной величины:

–4 –2      
р 0,06 0,23 0,36 0,35  

Проверка: 0,06+0,23+0,36+0,35=1.

2а) Найдем математическое ожидание и дисперсию Z, используя полученный закон распределения случайной величины Z:

.

2б) Найдем математическое ожидание и дисперсию Z, пользуясь их свойствами:

(Заметим, что вычисление математического ожидания и дисперсии удобнее проводить, используя их свойства.)

Пример 3. Приживаемость саженцев яблонь составляет 80%. Наудачу выбирают 5 саженцев.

1) Составить закон распределения числа прижившихся саженцев.

2) Найти математическое ожидание и дисперсию числа прижившихся саженцев.

Решение. 1) Введем случайную величину Х – число прижившихся саженцев среди пяти отобранных. Возможные значения Х: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Вероятность приживаемости каждого наудачу взятого саженца постоянна и равна 0,8. Поэтому для нахождения вероятностей можно использовать схему повторных независимых испытаний. В данном случае (п невелико), вероятности вычислим по формуле Бернулли:

.

Запишем закон распределения Х:

Х            
р 0,00032 0,0064 0,0512 0,2048 0,4096 0,32768

Проверка: 0,00032 + 0,0064 + 0,0512 + 0,2048 + 0,4096 + 0,32768 = 1.

Так как для нахождения была использована формула Бернулли, то данное распределение является биномиальным.

2) Найдем математическое ожидание и дисперсию, используя формулы биномиального распределения:

Пример 4. При введении вакцины против некоторого заболевания иммунитет создается в 99,9% случаев. Вакцинируют 1000 животных.

1) Составить закон распределения числа животных, которые заболеют этой болезнью после вакцинации.

2) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Решение. 1) Введем случайную величину Х – число животных, которые заболеют после вакцинирования. Возможные значения Х: 0, 1, 2, …, 1000. Найдем соответствующие вероятности. По условию задачи число вакцинированных животных , а вероятность заболеть после вакцинации , то есть . Так как п – велико, а р – мало, то используем формулу Пуассона:

, где .

.

Закон распределения будет иметь вид:

Х        
р 0,368 0,368 0,184 0

Так как были вычислены по формуле Пуассона, то данное распределение является пуассоновским.

2) Для вычисления математического ожидания и дисперсии используем известные формулы:

.

Пример 5. Игральный кубик подбрасывают до тех пор, пока не выпадет 6 очков.

1) Составить закон распределения случайной величины Х – числа подбрасываний кубика, если число подбрасываний не ограничено. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

2) Составить закон распределения случайной величины – числа подбрасываний, если кубик подбрасывают не более трех раз. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение. 1) Случайная величина Х – число подбрасываний кубика до первого появления 6 очков. Возможные значения Х: 1, 2, 3, …

;

;

;

;

Запишем закон распределения:

Х        
р

Так как образуют геометрическую прогрессию, то распределение случайной величины Х является геометрическим. Тогда

2) Случайная величина – число подбрасываний кубика до первого появления 6 очков (кубик подбрасывается не более трех раз). Возможные значения : 1, 2, 3.

;

;

.

Запишем закон распределения:

     
р

Как видим, распределение случайной величины не относится ни к одному из известных нам видов распределений, поэтому числовые характеристики будем считать, используя закон распределения:





Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 1068 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.016 с)...