Основные формулы. Под «схемой повторных независимых испытаний» понимают следующее:

Под «схемой повторных независимых испытаний» понимают следующее:

Производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью р и не произойти с вероятностью . Тогда вероятность того, что в п испытаниях событие А наступит k раз, можно найти по формулам из таблицы 2.

Таблица 2 – Основные формулы

Название формулы	Запись формулы	Условия применения формулы	Примечания о точности формулы
1. Формула Бернулли	, где	п – невелико (),	Дает точное значение
2. Локальная формула Муавра–Лапласа	, где ( – см. примечание 1)	п – велико ()	тем точнее, чем р ближе к 0,5
3. Формула Пуассона	, где	п – очень велико (), р – очень мало ()	тем точнее, чем больше п и меньше р
4. Простейший пуассоновский поток событий (ПППС)	, где l – среднее число событий в единицу времени	Для ПППС

Продолжение таблицы 2

5. Интегральная формула Муавра- Лапласа

, где , , (Ф (х) – см. примечание 2)

п – велико, k принимает целые значения в

1. тем точнее, чем больше п и р ближе к 0,5 2.

Примечание 1. Функция имеет вид

.

График называют кривой Гаусса (рисунок 6).

у

0 1 4 х

Рисунок 6 – График функции (кривая Гаусса)

Свойства функции :

1) – четная функция, то есть ;

2) при .

Для значений составлены таблицы (см. приложение Е).

Примечание 2. В формуле 5 для вычисления используется функция

.

Функцию называют функцией Лапласа (рисунок 7). График имеет вид:

у

0,5

–5 –1 0 1 5 х

–0,5

Рисунок 7 – График функции (кривая Лапласа)

Свойства функции :

1) – нечетная функция, то есть ;

2) при .

Для значений составлены таблицы (см. приложение Ж).

Пример 1. Всхожесть семян некоторой культуры 90%. Найти вероятности следующих событий:

а) из 10 случайно отобранных семян взойдет не менее 8;

б) из 100 семян взойдет ровно 80 семян;

в) из 100 семян взойдет не менее 70 семян и не более 95 семян.

Решение.

а)		Так как проводится п независимых испытаний и п невелико (), то применяем формулу Бернулли: .
		1) .

2) .

3) .

.

б)		Так как п – велико (), то применяем локальную формулу Муавра-Лапласа: , где ,

1) .

2) – четная функция, .

Находим по таблице .

3) Тогда .

Так как полученная вероятность очень мала, то событие, что из 100 семян взойдет ровно 80, практически невозможно.

в)		Так как и принимает целые значения из промежутка , то применяем интегральную формулу Муавра-Лапласа. Расчеты удобно выполнять последовательно:
	1) .

2) .

3) .

4) .

5) Находим по таблице

6) Тогда .

Пример 2. Вероятность того, что зерно заражено вредителями, равна 0,002. Найти вероятность того, что из 1000 зерен будет не менее трех зараженных вредителями.

Решение. По условию имеем:

	. Так как в правой части равенства много слагаемых, то лучше найти вероятность противоположного события: . Так как п – велико, р – мало, применяем формулу Пуассона.

.

1) .

2) .

3) .

.

Пример 3. Вероятность попадания снаряда в цель равна 0,3. Сколько должно быть произведено независимых выстрелов, чтобы вероятность по меньшей мере одного попадания в цель была не менее 0,9?

Решение.

По условию имеем:

	так как ,
п =?

Прологарифмируем обе части равенства:

Разделим обе части неравенства на , учитывая, что

:

,

то есть .

Если сделать не менее 7 выстрелов, то вероятность хотя бы одного попадания в цель будет не менее 0,9.

Пример 4. Среднее число заявок, поступающих на склад в течение часа, равно 2. Найти вероятность того, что в течение получаса поступит более двух заявок.

Решение. Последовательность поступления заявок можно рассматривать как ПППС.

	. Так как в правой части равенства много слагаемых, то удобнее перейти к вероятности противоположного события: .

Для ПППС справедлива формула .