Распределение Пуассона. Вернемся к распределению Пуассона

Несложно устанавливается, что распределение Пуассона является пределом биноминального распределения при .Отсюда при малом p и n достаточно большом, а имеем приближенную формулу

.

То есть, распределение Пуассона выражает закон распределения числа появлений маловероятных событий при большом числе испытаний. Поэтому иногда распределение Пуассона называют законом малых чисел. Значения обычно определяют по таблице, имеются специальные таблицы для определения этих значений для конкретных m и a.

Закон распределения Пуассона существенно используется при исследовании обрывности нити. В.П. Левинским и А.Б. Мякиной было установлено, что технологическая обрывность, т.е., число обрывов на 1000 веретен в час при налаженном технологическом процессе, приближенно подчиняется распределению Пуассона. Поэтому, прежде всего, соотношение M(X)=D(X)=a является критерием технологической обрывности, не выполнение этого условия может быть свидетельством того, что обрывность обусловлена нетехнологической обрывностью, т.е. неполадками производственного характера (неисправностью веретен, некачественным обслуживанием и т.д.).

Пример 1. Мотальщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,003. Определить вероятность того, что в течение 1 мин обрывы произойдут:

1) на 4 веретенах; 2) не более чем на 4 веретенах.

Итак, n=1000; р=0,003; .По формуле , применяя специальную таблицу находим

Далее используя теорему сложения вероятностей определим

Теперь рассмотрим задачу такого типа. Прядильщица за длительный промежуток времени T в среднем ликвидирует в минуту обрывов. Следует определить вероятность того, что в течение времени t мин ликвидирует m обрывов. Как известно, эта задача сводится к применению асимптотической формулы Пуассона:

.

Пример 2. Прядильщица в среднем ликвидирует 180 обрывов в течение часа на 1000 веретен. Определить вероятность того, что в течение 2 мин потребуется ликвидировать 4 обрыва.

Имеем .

Итак, по вышеприведенной формуле будем иметь

.