Интегральная формула Муавра-Лапласа

Пусть требуется найти где - целые положительные числа, X имеет биноминальное распределение. Рассматривается случай, когда число испытаний n достаточно большое. В этом случае как отмечалось, случайная величина Х приближенно имеет нормальное распределение. Следовательно, по формуле Лапласа с учетом , будем иметь

,

где . Эта формула называется интегральной формулой Муавра-Лапласа.

Пример 1. Смесь состоит из 40% крашеного хлопка и 60% некрашеного. Определить вероятность того, что в случайном соединении из 200 волокон крашеных волокон окажутся не менее 90 и не более 120.

Используем интегральную формулу Муавра-Лапласа. Имеем p = 0,4; q = 0,6; n = 200; . Сначала находим

Итак, имеем

.

Пример 2. В швейном цехе 100 машин. Вероятность того, что за время T сломается одна игла, равна p = 0,12. Определить вероятность того, что наличие 10 запасных игл обеспечит бесперебойную работу всего швейного цеха за время T.

Наличие 5 игл позволяет обеспечить бесперебойную работу только в том случае, если из 100 машин потребуют замены иглы не более чем 10 машин.

Итак, n=100, p=0,12; . Вычислим

.