Формула Лапласа

Вернемся к нормальному распределению. Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону. Плотность распределения имеет вид

. При этом М(Х) = а, , .

Итак, второй параметр выражает среднеквадратическое отклонение нормального распределения. Определим вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал по формуле Лапласа

,

где , где Ф (t) – функция Лапласа.

Пример 1. На прядильной фабрике вырабатывается пряжа, средняя прочность образцов которой равна 260 сн; . Прочность как случайная величина приближенно следует нормальному закону распределения. Определить долю образцов пряжи с прочностью от 224 сн до 287 сн.

Поскольку прочность образцов пряжи Х согласно условию имеет приближенно нормальное распределение, поэтому можно использовать формулу Лапласа. В нашем случае параметры распределения такие: а=260 сн, и .

Причем . Находим сначала

.

Итак, по формуле Лапласа имеем

Значения функции Лапласа Ф (1,5) и Ф (2) нашли по таблице значений функции Лапласа.

Пример 2. Средняя прочность образцов пряжи равна 280 сн. . Определить долю образцов всей пряжи, прочность которой отклоняется от средней на величину не больше 20 сн. Считается, что прочность приближенно изменяется по нормальному закону.

Здесь используем частный случай формулы Лапласа

. В рассматриваемом примере а =280, . Итак, имеем

.