Локальная теорема Лапласа. Воспользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами

Воспользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.

Возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно установить вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Определение. Функцию j(х) называют асимптотическим приближением функции f(x), если

Примечание. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n):

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента х. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, поскольку j(х) – четная функция, а значит j(-х) = j(х), таким образом:

Пример. Найти вероятность того, что событие А наступит 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. n = 400; k = 80; p = 0,2; q = 0,8.

По таблице определяем: j(0) = 0,3989.