Вероятность гипотез. Формулы Бейеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

По формуле полной вероятности:

определим, как изменились вероятности гипотез, если появилось событие А, т.е. будем искать:

По теореме умножения: .

Из формулы полной вероятности заменим Р(А):

Окончательно, для остальных гипотез:

Полученные формулы называют формулами Бейеса, по имени английского математика, который их вывел и опубликовал в 1764 году. Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки на их стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6; а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94; а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Решение. А – годная деталь признана стандартной. Выдвигаем гипотезы: В₁ – деталь проверил первый контролер;

В₂ – деталь проверил второй контролер.

Вероятность того, что деталь проверил первый контролер, вычислим по формулам Бейеса: