Решение. 1) Дифференциальная функция по свойству f(x) должна удовлетворять условию

1) Дифференциальная функция по свойству f(x) должна удовлетворять условию .

Вычислим этот несобственный интеграл для данной функции f(x):

Подставляя этот результат в левую часть равенства, получим, что а =1. В условии для f(x) заменим параметр а на 1:

2) Для нахождения F(x) воспользуемся формулой

.

Если х , то , следовательно,

Если 1 то

Если x>2, то

Итак, искомая интегральная функция F(x) имеет вид:

3) Построим графики функций f(x) и F(x) (рис. 4.3 и 4.4).

Рис. 4.3

Рис. 4.4.

4) Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (а,b) вычисляется по формуле , если известна функция f(x), и по формуле P(a < X <b) = F(b) – F(a), если известна функция F(x).

Найдем по двум формулам и сравним результаты. По условию а=0,5; b=1,5; функция f(X) задана в пункте 1). Следовательно, искомая вероятность по формуле равна:

Та же вероятность может быть вычислена по формуле b) через приращение полученной в п.2). интегральной функции F(x) на этом интервале:

, так как F(0,5)=0.

Аналогично находим

,

или

,

так как F(3,5)=1.

5) Для нахождения математического ожидания М(Х) воспользуемся формулой Функция f(x) задана в решении пункта 1), она равна нулю вне интервала (1,2]:

Дисперсия непрерывной случайной величины D(Х) определяется равенством

, или равносильным равенством

.

Для нахождения D(X) воспользуемся последней формулой и учтем, что все возможные значения f(x) принадлежат интервалу (1,2]:

Среднее квадратическое отклонение = =0,276.

Интервал наиболее вероятных значений случайной величины Х равен

(М- ,М+ ) = (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).