Решение. 1) Дискретная случайная величина Х – число попаданий в цель при трех выстрелах – может принимать четыре значения: 0

1) Дискретная случайная величина Х – число попаданий в цель при трех выстрелах – может принимать четыре значения: 0, 1, 2, 3. Вероятность того, что она примет каждое из них, найдем по формуле Бернулли при: n =3, p =0,4, q = 1-p =0,6 и m =0, 1, 2, 3:

.

Получим вероятности возможных значений Х: ;

;

.

Составим искомый закон распределения случайной величины Х:

Х
Р	0,216	0,432	0,288	0,064

Контроль: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.

Построим многоугольник распределения полученной случайной величины Х. Для этого в прямоугольной системе координат отметим точки (0; 0,216),
(1; 0,432), (2; 0,288), (3; 0,064). Соединим эти точки отрезками прямых, полученная ломаная и есть искомый многоугольник распределения (рис. 4.1).

х

Рис. 4.1.

2) Если х 0, то F(х) =0. Действительно, значений, меньших нуля, величина Х не принимает. Следовательно, при всех х 0, пользуясь определением F(х), получим F(х) = P(X<x) =0 (как вероятность невозможного события).

Если 0<x , то F(X) =0,216. Действительно, в этом случае F(х) = P(X<x) = = P(- <X 0)+P(0<X<x) =0,216+0=0,216.

Если взять, например, х =0,2, то F (0,2)= P(X<0,2). Но вероятность события Х <0,2 равна 0,216, так как случайная величина Х лишь в одном случае принимает значение меньшее 0,2, а именно 0 с вероятностью 0,216.

Если 1<x , то

Действительно, Х может принять значение 0 с вероятностью 0,216 и значение 1 с вероятностью 0,432; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,648.

Если 2<x , то рассуждая аналогично, получим F(х) =0,216+0,432 + + 0,288=0,936. Действительно, пусть, например, х =3. Тогда F (3)= P(X<3) выражает вероятность события X <3 – стрелок сделает меньше трех попаданий, т.е. ноль, один или два. Применяя теорему сложения вероятностей, получим указанное значение функции F(х).

Если x >3, то F(х) =0,216+0,432+0,288+0,064=1. Действительно, событие X является достоверным и вероятность его равна единице, а X >3 – невозможным. Учитывая, что

F(х) = P(X<x) = P(X 3) + P(3<X<x), получим указанный результат.

Итак, получена искомая интегральная функция распределения случайной величины Х:

F(x) =

график которой изображен на рис. 4.2.

Рис. 4.2

3) Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности:

М(Х) =0 =1,2.

То есть, в среднем происходит одно попадание в цель при трех выстрелах.

Дисперсию можно вычислить, исходя из определения дисперсии D(X)=M(X-M(X)) или воспользоваться формулой D(X)=M(X , которая ведет к цели быстрее.

Напишем закон распределения случайной величины Х :

Х2					.
Р	0,216	0,432	0,288	0,064

Найдем математическое ожидание для Х :

М(Х ) = 0 4 = 2,16.

Вычислим искомую дисперсию:

D(X) = M(X ) – (M(X)) = 2,16 – (1,2) = 0,72.

Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле

(X) = = 0,848.

Интервал (M- ; M+ ) = (1,2-0,85; 1,2+0,85) = (0,35; 2,05) – интервал наиболее вероятных значений случайной величины Х, в него попадают значения 1 и 2.