Решение. В данном случае вероятность того, что взятая наугад буханка имеет высший сорт, равна p = , не имеет: q= и не изменяется от изделия к изделию

В данном случае вероятность того, что взятая наугад буханка имеет высший сорт, равна p = , не имеет: q= и не изменяется от изделия к изделию. Поэтому можно считать, что мы имеем дело со схемой независимых испытаний и можем воспользоваться формулой Бернулли.

1) .

2) Вторую вероятность легче вычислить с помощью противоположного события:

.

Вычислим все вероятности: , , , , и сравним их между собой. Для наглядности построим многоугольник распределения вероятностей. На горизонтальной оси отметим значения k, а на вертикальной – соответствующие им вероятности (рис 2.1).

Рис. 2.1.

Нетрудно видеть, что есть такое значение числа появления событий (k=3), которому соответствует наибольшая вероятность. Назовем такое значение наивероятнейшим и обозначим через k₀. Для небольших n можно отыскать наивероятнейшее значение простым перебором, но для больших n следует найти наиболее экономный способ.

Рассмотрим общий случай.

Зафиксируем n и убедимся в том, что с ростом k сначала возрастает, а потом, достигнув наибольшего значения при k=k₀ (которое может повториться дважды), убывает. Для этого рассмотрим отношение

Так как kq>0, то из полученного выражения следует

1) , если ;

2) , если ;

3) , если .

Итак, , но отстоит влево от не дальше чем на единицу (иначе между ними поместилось бы , которое, согласно неравенству, было бы наивероятнейшим). Поэтому . Так как k ₀ – целое число, а длина интервала равна единице, то приходим к выводу: наивероятнейшим числом появлений события в n независимых опытах является целое число k ₀, заключенное в пределах или . Наивероятнейших чисел будет два, если целое (рис. 2.2).

Рис. 2.2.