Предел монотонной функции

Определение 11 (монотонная функция). Пусть f:E ® R

1. Если для любых x 1, x 2 Î E при x 1 <x 2 выполняется f (x 1) <f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)), то функция f (x) возрастающая (убывающая).

2. Если для любых x 1, x 2 Î E при x 1 <x 2 выполняется f (x 1)£ f (x 2) (f (x 1)³ f (x 2)), то функция f (x) неубывающая (невозрастающая).

Определение 12 (ограниченная функция). Функция f (x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X, если

$ M (m)Î R " x Î X Þ f (x)£ M (f (x)³ m).

Определение 13. Функция f (x) называется ограниченной на множестве X, если она ограничена на нем сверху и снизу, т.е.

$ M, m Î R " x Î X Þ m £ f (x)£ M.

Определение 14 (точные верхняя и нижняя грани). Число M (m) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции f (x) на множестве X, если выполнены следующие условия

1. " xÎ X Þ f(x)£ M (f(x)³ m);

2. " e >0 $ x₀Î X: f(x₀)>M-e (f(x)<m+e) (см. рис. 16).

Предположим, что числа (или символы ±¥) i=inf E, s=sup E являются предельными точками множества E (см. определение prepo 1). Имеет место

Теорема 6 (существование предела у монотонной функции). Для того чтобы неубывающая на множестве E функция f:E ® R имела предел при x ® s, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, а для того чтобы она имела предел при x ® i необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.