Определения и примеры

Пусть EÌ R и a – предельная точка множества E.

Определение 1. Будем говорить, что a –предельная точка для множества E, если любая окрестность точки a содержит бесконечное подмножество множества E.

Пусть f:E ® R. Приведем несколько формулировок определения предела функции. Для разных оценок бывает удобна то одна, то другая.

Определение 2 (предел функции по Коши). Число A Î R называется пределом функции f(x) в точке a или при x® a и это обозначается следующим образом lim _x ® af (x) = A, если

" e > 0 $ d(e)>0: " x: 0 <|x-a|< d, Þ |f (x) -A|< e

Пример 1. Доказать, что lim_{x® 1}(2x+3) = 5.

Запишем определение предела для данного примера

" e >0 $ d (e)>0 " x удовлетворяющих условию: 0 <|x- 1 |< d

должно быть выполнено неравенство

| 2 x+ 3-5 |< e или 2 |x- 1 |< e.

Отсюда следует, что неравенство 2|x-1|<2d<e выполнится, если d£e/2. Если e = 0,1, то d = 0,05, при e = 0,01, d = 0,005 и т.д. Таким образом, решение задачи состоит в нахождении d, зависящего от e.

Определение 3. Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Обозначается проколотая окрестность символом .

Определение 4 (предел функции на "языке окрестностей"). Число A Î R называется пределом функции f(x) в точке a или при x® a,
если для любой окрестности U (A) числа A существует проколотая окрестность точки a такая, что f () Ì U (A).

Приведем еще одно эквивалентное определение предела на "языке последовательностей".

Определение 5 (предел функции по Гейне). A=lim_{x ® a}f(x)
означает, что

" x_n ® a при n ® ¥; x_n ¹ a, f (x_n) ® A при n ® ¥

Пример 2. Покажем, что не существует предела f(x) = sin(1/x) при x® 0. Для этого используем определение предела на языке последовательностей. Выберем две последовательности x_n1 = 1/p n, x_n2 = 1/(p/2+2p n), которые обе сходятся к нулю при n®¥. Тогда sin x_n1 = sin p n=0, sin x_n2 = sin (p/2+2p n) = 1, Таким образом, f(x_n1) и f(x_n2) сходятся к разным числам, поэтому определение предела на "языке последовательностей" не выполняется.

Пример 3. Рассмотрим функцию Дирихле

f (x) =

ì 1, если x Î Q í î 0, если x Î R\ Q

, где Q – множество рациональных чисел, соответственно множество R\ Q – множество иррациональных чисел. Данная функция не имеет предела ни в одной точке a действительной прямой. Действительно, если выбрать последовательность рациональных чисел, сходящихся к a, то соответствующая последовательность значений функции сходится к единице. Если выбрать последовательность иррациональных значений, то значения функции сходятся к нулю. Следовательно, на основании определения предела по Гейне данная функция не имеет предела.

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Неравенство |f(x)-A|<e равносильно двойному A-e<f(x)<A+e. Число A есть предел функции f(x) при x®a, если для любого e >0 найдется такая d -окрестность точки a, что для всех x¹ a из этой окрестности соответствующие значения функции f(x) будут заключены в полосе A-e<f(x)<A+e (см. рис. 14).

Рассмотрим понятие предела функции в бесконечности.