Теорема 1 (свойства предела функции)

1. Если $ lim _x ® af(x) = A, то найдется окрестность точки a такая, что в этой окрестности функция f (x) будет ограничена.

2. Если f (x) есть постоянная A в некоторой окрестности точки a, то lim _x ® af (x) = A

3. Если lim _x ® af (x) = A 1 и lim _x ® af (x) = A 2, то A 1 = A 2

Утверждения данной теоремы вытекают из определения предела функции.

Теорема 2 (арифметические операции над пределами). Если lim _x ® af (x) = A, lim _x ® ag (x) = B, то

1. lim _x ® a[f(x) ± g(x)]=A ± B,

2. lim _x ® af (x) g (x) = AB

3. lim _x ® af (x) /g (x) = A/B, B ¹ 0

Эта теорема непосредственно следует из соответствующей теоремы о пределах последовательностей.

Теорема 3 (предел и неравенства). Пусть f:E ® R, g:E ® R, h:E ® R

1. Если lim _x ® af (x) = A, lim _x ® ag (x) = B и A<B, то $ : " x Î f (x) <g (x).

2. Если для " x Î E f (x) £ g (x) £ h (x) и существует lim _x ® af (x) = lim _x ® ah (x) = A. то существует lim _x ® ag (x) = A

Пример 6. (Первый замечательный предел)

lim _x ® 0(sin x) /x = 1

Доказательство.

1. Покажем, что

cos ² x< (sin x) /x< 1 при 0 <|x|< p / 2.

Так как cos²x,(sin x)/x - четные функции, то достаточно рассмотреть случай 0<x<p/2. Из рис. 15 и определения функций cos x и sin x, сравнивая площади сектора OCD, треугольника D OAB и сектора OAB, найдем

Разделив эти неравенства на (1/2) x, получим требуемый результат.

2. Из выше полученного результата следует, что

| sin x| £ |x| " x Î R.

3. Из 2) по теореме о предельном переходе в неравенствах вытекает, что

lim _x ® 0sin x = 0.

4. Теперь покажем, что

lim _x ® 0(sin x) /x = 1.

Cчитая, что |x|<p/2, в силу полученного в 1) неравенства имеем

1-sin² x< sin x/x< 1.

Но lim_{x® 0}(1-sin ²x) = 1, значит, по теореме о предельном переходе в неравенствах следует, что

lim _x ® 0(sin x) /x = 1.