Некоторые определения. Схема исследования

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА

Функцией (или функциональной зависимостью) называется закон, по которому каждому значению независимой переменной x из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины y. Совокупность значений, которые принимает зависимая переменная y, называется областью значений функции.

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (x; y), такими, что абсцисса x принимает все значения из области определения, а ордината y равна значению функции в точке x.

Функция f (x) называется четной, если для любого x из ее области определения, -x также принадлежит области определения, причем, f (-x)= f (x). Функция f (x) называется нечетной, если для любого x из ее области определения, -x также принадлежит области определения, причем, f (-x)= f (x).

Функция f (x) называется периодической с периодом T¹ 0, если для любого x, принадлежащего области определения функции, x - T, x + T также принадлежат области определения и ее значения в точках x, x - T, x + T равны.

Функция f (x) возрастает на некотором интервале, если для любых значений x ₁ и x ₂, принадлежащих этому интервалу, таких что x ₂ > x ₁, выполнено неравенство f (x ₂) > f (x ₁).

Функция f (x) убывает на некотором интервале, если для любых значений x ₁ и x ₂, принадлежащих этому интервалу, таких что x ₂ > x ₁, выполнено неравенство f (x ₂) < f (x ₁).

Точка x ₀ называется точкой минимума функции f (x), если для всех значений x из некоторой окрестности x ₀ выполнено неравенство bÎ R.

Точка x ₀ называется точкой максимума функции f (x), если для всех значений x из некоторой окрестности x ₀ выполнено неравенство f (x) £ f (x ₀).

При описании функции y = f (x) принято указывать:

1. Область определения D(x) и область значений E(y) функции.

2. Является ли функция периодической.

3. Является ли функция четной или нечетной.

4. Точки пересечения графика с осями координат.

5. Промежутки знакопостоянства функции.

6. Интервалы возрастания и убывания.

7. Точки экстремума и экстремальные значения.

8. Наличие асимптот.

1.	Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением: y = k x, где k - постоянная величина (коэффициент пропорциональности). График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k: tan = k (рис.8). Поэтому, коэффициентпропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = -3.
2.	Линейная функция. Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:   A x + B y = C,   где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.
3.	Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:   y = k / x, где k - постоянная величина. График обратной пропорциональности – гипербола (рис.10). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью (о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия»). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы: xy = k.     Основные характеристики и свойства гиперболы: - область определения функции: x 0, область значений: y 0; - функция монотонная (убывающая) при x < 0и при x > 0, но не монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 (подумайте, почему?); - функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая; - нулей функция не имеет.
4.	Квадратичная функция. Это функция: y = ax 2 + bx + c, где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае имеем: b = c = 0 и y = ax 2. График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат (рис.11). Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.   График функции y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax 2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами: Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x 2 и дискриминанта D: D = b 2 – 4 ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см. соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.

9. График.

Элементарные функции и их графики       Изобразите, пожалуйста, квадратную параболу для случая a > 0, D > 0.   Основные характеристики и свойства квадратной параболы: - область определения функции: - < x < + (т.e. x R), а область значений: … (ответьте, пожалуйста, на этот вопрос сами!); - функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины ведёт себя, как монотонная; - функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0, и непериодическая; - при D < 0 не имеет нулей. (А что при D 0?).   5. Степенная функция. Это функция: y = axn, где a, n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 - квадратную параболу; при n = -1 - обратную пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат (поясните, пожалуйста, почему?). Все эти случаи (при a = 1) показаны на рис.13 (n 0) и рис.14 (n < 0). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:     Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3. При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция y = x 3 называется кубической параболой. На рис.16 представлена функция . Эта функция является обратной к квадратной параболе y = x 2, её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция (об этом говорит и знак ± перед квадратным корнем). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю. 6. Показательная функция. Функция y = ax, где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией. Аргумент x принимает любые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81 x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y = -3, y = 3 i и y = -3 i (проверьте, пожалуйста!). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку (0, 1).При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции: - область определения функции: - < x < + (т.e. x R); область значений: y > 0; - функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая; - нулей функция не имеет. 7. Логарифмическая функция. Функция y = log a x, где a – постоянное положительное число,не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график (рис.18) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Основные характеристики и свойства логарифмической функции: - область определения функции: x > 0,а область значений: - < y < + (т.e. y R); - это монотонная функция: она возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая; - у функции есть один ноль: x = 1. 8. Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов.Тогда функция y = sin x представляется графиком (рис.19). Эта кривая называется синусоидой.   График функции y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на /2. Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций: - область определения: - < x < + ;область значений: -1 y +1; - эти функции периодические: их период 2 ; - функции ограниченные (| y | 1), всюду непрерывные, не монотонные, но имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они ведут себя, как монотонные функции (см. графики рис.19 и рис.20); - функции имеют бесчисленное множество нулей (подробнее см. раздел «Тригонометрические уравнения»).   Графики функций y = tan x и y = cot x показаны соответственно на рис.21 и рис.22   Из графиков видно, что эти функции: периодические (их период ), неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности (какие?), разрывные (какие точки разрыва имеют эти функции?). Область определения и область значений этих функций: 9. Обратные тригонометрические функции. Определения обратных тригонометрических функцийи их основные свойства приведены в одноимённом разделе в главе «Тригонометрия». Поэтому здесь мы ограничимся лишь короткими комметариями, касающимися их графиков, полученных поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.   Функции y = Arcsin x (рис.23) и y = Arccos x (рис.24)многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно: -1 x +1 и - < y < + . Поскольку эти функции многозначные, не рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения: y = arcsin x и y = arccos x; их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными линиями. Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами: - у обеих функций одна и та же область определения: -1 x +1; их области значений: - /2 y /2 для y = arcsin x и 0 y для y = arccos x; - функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные (y = arcsin x – возрастающая функция; y = arccos x – убывающая); - каждая функция имеет по одному нулю (x = 0 у функции y = arcsin x и x = 1 у функции y = arccos x). Функции y = Arctan x (рис.25) и y = Arccot x (рис.26)- многозначные, неограниченные функции; их область определения: - x + . Их главные значения y = arctan x и y = arccot x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рис.25 и рис.26 жирными ветвями. Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства: - у обеих функций одна и та же область определения: - x + ; их области значений: - /2< y < /2 для y = arctan x и 0 < y < для y = arccos x; - функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные (y = arctan x – возрастающая функция; y = arccot x – убывающая); - только функция y = arctan x имеет единственный ноль (x = 0); функция y = arccot x нулей не имеет.

Отчетливое выявление основных свойств, позволяющих достаточно наглядно судить о ее поведении, называют исследованием функции.

В стандартную схему исследования функции обычно включают следующие пункты.

1. Область определения функции.

2. Нули (корни) функции.

3. Промежутки знакопостоянства.

4. Точки экстремума функции.

5. Промежутки возрастания и убывания (монотонность) функции.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции.

7. Множество значений функции.

Дадим краткое описание тех понятий, которые включены нами в схему исследования функции.

Область определения – множество значений аргумента, при которых задана функция. Если функция задана формулой, то имеется в виду ее естественная область определения, т. е. множество чисел, к которым применима данная формула.

Примеры

а) y = x ² – 1, D: R, или x – любое число.

б) , D: [–1; 1].

в) , D: x ¹ 1, или x – любое число, кроме x = 1.

г) , D: [0; +¥), или x – любое неотрицательное число.

Во всех этих примерах указывалась естественная область определения функции.

Нули (корни) – точки, в которых функция обращается в нуль, или, иначе, решения уравнения f (x) = 0.

Примеры

а) y = 2 x – 1, один нуль: .

б) y = x ² + x – 2, нули: x ₁ = 1, x ₂ = –2.

в) y = x ² + x + 2, нулей нет.

г) y = x – [ x ], нули: все целые числа.

Промежутки знакопостоянства – интервалы, на которых функция положительна или отрицательна, или, иначе, решения неравенств f (x) > 0 и f (x) < 0.

Примеры

а) , y < 0 при x < 2; y > 0 при x > 2, или y < 0 при
x Î (–¥; 2), y > 0 при x Î (2; +¥).

б) , y < 0 при x Î (0; 4), y > 0 при x Î (4; +¥).

в) , y > 0 при всех допустимых значениях x, или при x Î (–¥; 2) È (2; +¥).

г) , y < 0 при x Î (–¥; –1) È (0; 1); y > 0 при x Î (–1; 0) È (1; +¥).

Точки экстремума – точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает самое большое (максимум) или самое малое (минимум) значение по сравнению со значениями в близких точках.

Примеры

а) , экстремумов нет.

б) y = x ² – 2 x, x = 1 – точка минимума. Значение в этой точке равно –1: y (1) = –1.

в) ,

x = –1 – точка максимума, y (–1) = –2;
x = +1 – точка минимума, y (+1) = 2.

г) y = | x |, x = 0 – точка минимума, y (0) = 0.

Промежутки возрастания и убывания – интервалы, на которых функция или возрастает, или убывает. Слова “возрастание” и “убывание” функции иногда заменяют одним словом – “монотонность” функции.

Примеры

а) y = 1 – x, y убывает на всей числовой оси.

б) y = x ² – 1, y убывает на промежутке (–¥; 0] и возрастает на промежутке [0; +¥).

в) , y возрастает на каждом из промежутков (–¥; 0) и (0; +¥).

г) y = x ³ + x, y возрастает на всей числовой оси.

Наибольшее и наименьшее значения функции – самое большое или самое маленькое значение функции по сравнению со всеми возможными (в отличие от экстремумов, где сравнение ведется только с близкими точками).

Примеры

а) y = 1 – x; функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

б) y = – x, x Î [–1; 1]; наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах промежутка: y (–1) = 1 – наибольшее значение; y (1) = 1 – наименьшее значение.

в) y = x ² – 1; наименьшее значение функция принимает при x = 0,

y (0) = –1. Наибольшего значения у функции нет.

г) y = – x ² + 2 x, x Î [1; 3], наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах промежутка: y (1) = 1 – наибольшее значение;

y (3) = –3 – наименьшее значение.

Множество значений функции – множество чисел, состоящее из всех значений функции.

Примеры

а) y = – x, Е: R, или y – любое число.

б) y = – x, x Î [–1; 1]. Е: [–1; 1].

в) y = x ² – 1, E: [–1; +¥).

г) y = – x ² + 2 x, x Î [0; 3], Е: [–3; 1], или –3 £ y £ 1.