Теорема 4 (свойства бесконечно малых функций)

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая.

3. Произведение конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой.

Доказательство. Докажем для примера первое утверждение теоремы для двух бесконечно малых.

Из того, что существует lim_{x® a}a(x) = 0, следует, что " e>0 $ d₁(e)>0 такое, что " x: 0<|x-a|<d₁ выполняется неравенство
|a(x)|< e/2. Аналогично, из существования предела lim_{x® a} b(x) = 0, следует " e>0 $ d₂(e)>0 такое, что " x: 0<|x-a|<d₂
выполняется неравенство |b(x)|< e/2. Тогда " x: 0<|x-a|<d = min{d₁,d₂} выполнятся оба неравенства одновременно, то есть

| a(x)+b(x) | £ | a(x) |+| b(x) |< e.

Определение 9 (бесконечно большая функция). Функция называется бесконечно большой при x ® a или в точке a, если для любого положительного числа e найдется такое положительное d(e), что для всех x¹ a и удовлетворяющих условию |x-a|<d будет выполнено неравенство |f(x)|>e.

Аналогично можно дать определение бесконечно большой при x® ¥. Приведем его в символической записи:

lim _x ® ¥ f (x) = ¥ Û " e>0 $ d(e)>0 " x:|x|> d |f (x) |> e.

Предложение 1. a(x) бесконечно малая функция при x ® a Û 1 / a(x) — бесконечно большая при x ® a

Пример 11. y = x² – бесконечно малая функция при x ® 0, а y = 1/x² – бесконечно большая при x ® 0.