Свойства бесконечно больших функций в точке

Пусть f (x) бесконечно большая функция при x → x ₀, a g (x) такая функция, что g (x) > h > 0 в некоторой δ - окрестности точки х ₀. Тогда f (x)·g(x) – бесконечно большая функция:

.

Доказательство. Так как , то

( K > 0) ( δ₁ = δ₁(K) > 0)( 0 < | x - x ₀ | < δ₁): | f (x)| > K / h.

где h - то число, для которого g (x) > h > 0 (при условии 0 < | x – x ₀ | < δ₁). В этом случае в этой окрестности имеем

| f (x)· g (x) | = | f (x) |·| g (x) | > h·K / h = K.

Последнее неравенство означает

.

Пусть f (x) бесконечно большая функция при x → х ₀, а g (x)- функция, ограниченная в некоторой окрестности точки х ₀. Тогда f (x) + g (x) бесконечно большая функция, то есть

.

Доказательство. Так как , то

( N > 0) ( δ₁ = δ₁(N) > 0)( 0 < | x – x ₀| < δ₁): | f (x)| > N + M.

Так как g (x) ограничена, то

( M > 0) ( δ₂ = δ₂(N) > 0)( 0 < | x – x ₀ | < δ₂): | g (x)| < M.

Если считать, что δ = min{δ₁,δ₂}, то справедливо неравенство

| f (x) + g (x) | > | f (x) | − | g (x) | > N + M − M = N,

что и требовалось доказать.