Определение 7

lim _x ® af (x) = ¥,

если

" A> 0 $ d(A) > 0: " x 0 <|x-a|< d, |f (x) | > A

lim _x ® ¥ f (x) = ¥, если " A> 0 $ B (A)>0: " x |x|> B, |f (x) |> A

Аналогично формулируются определения при x® ±¥, а также определения, когда A = ±¥.

Замечание. Изученное понятие предела последовательности можно рассматривать как частный случай предела функции при x® +¥.

Пример 4. Доказать, что lim _x ® 11 / (x- 1)² = + ¥

" e > 0 $ d(e)>0: " x 0 <|x- 1 |< d выполняется 1 / (x- 1)²> e
1 /|x- 1 | 2>1 / d²> e

Замечание. Если при стремлении x к a переменная x принимает лишь значения, меньшие a или большие a и при этом f(x) стремится к A, то говорят, что существуют односторонние пределы функции, то есть lim_{x® a-0}f(x) = A – предел слева или lim_{x® a+0}f(x) = A – предел справа. Очевидно, что если lim_{x® a-0}f(x) = lim_{x® a+0}f(x) = A, то lim_{x® a} = A. Верно и обратное утверждение.

Пример 5. Покажем, что не существует предела f(x) = 2^1/x, при x ® 0.
lim _x ® 0-02^{1 /x} = lim _x ® 0-02^{- ¥} = 0
lim _x ® 0+02^{1 /x} = lim _x ® 0+02^{+ ¥} = + ¥

Пределы не равны, следовательно lim _x ® 0 2^{1 /x} не существует.