Дифференциальные счисления функции одной переменной

1) производная, дифференциал.

Пусть функция определена на множестве , .

Определение 1: Если существует конечный

(1)

то – называется производной функции в точке , а функция дифференцируемой в точке .

- приращение аргумента.

- приращение функции

Равенство (1):

Если , то говорят что функция в точке - имеет бесконечную производную

В этом случае функция - не является дифференцируемой в точке .

Определение 2: Если существуют односторонние пределы

или

, то они являются соответственно левой и правой производными функции в точке .

Теорема: Если функция дифференцирована в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство: т.к. существует предел

значит

, т.к. функция ее придел при отличается на величину, тогда (2)

перейдем к пределу при ,

по определению

чтд.

Замечание:

Функция может быть непрерывна в точке, но не является дифференциальной в ней.

Функция - не является дифференцированной в точке .

Определение: функция - называется дифференциальная на множестве , если она дифференциальная в каждой точке этого множества.

Теорема: Если функция дифференциальная на множестве , то она не прерывна на этом множестве.