Вычисление объемов

1. Объем тела по известным поперечным сечениям. Если объем тела существует и есть площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси в точке x то .

2. Объем тела вращения. Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции где - непрерывная однозначная функция, равен .

В более общем случае объем кольца, образованного вращением вокруг оси фигуры где и -непрерывные неотрицательные функции, равен .

Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Разрешим относительно уравнения линий. Решая систему уравнений

,

находим точки пересечения линий . С учетом симметрии получим

Ниже на рис.5 показаны заданные линии и фигура, ограниченная ими.

Рис.5. Геометрическая схема области интегрирования.

Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченную лемнискатой

Решение. Для вычисления площади перейдем к полярным координатам

Получим уравнение лемнискаты или Кривая определена при или или Лемниската при приведена на рис. 6.

Отсюда имеем ;

Рис. 6. Изображение лемнискаты.

Задача 8. Найти объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси

Решение. Если – функция, задающая площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной

Ниже показано изображение тела, полученное с помощью графических примитивов пакета MATCHAD.

рис. 7. Визуализация поверхности вращения

ГЛАВА IV. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

§1. Понятие функции нескольких переменных.

Переменная величина называется функцией двух переменных , если каждой паре из данной области соответствует единственное определенное значение . Переменные называются аргументами или независимыми переменными. Функциональная зависимость обозначается так: . Областью существования (определения) функции понимается совокупность точек, плоскости , в которых данная определена. Линией уровня функции называется такая линия на плоскости , в точках которой функция принимает одно и то же заданное значение. Поверхностью уровня функции трех аргументов называется такая поверхность , в точках которой функция принимает одно и то же заданное значение.

§2. Предел функции.

Пусть функция определена на множестве Е, имеющем точку сгущения . Говорят, что , если для любого существует , такое что

при и где - расстояние между точками .

2.1. Предел функции для двух переменных.

Число называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для любого существует такое , что при , где расстояние между двумя точками и , имеет место неравенство . В этом случае пишут

Непрерывность. Функция называется непрерывной в точке , если . Функция непрерывна в данной области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Равномерная непрерывность. Функция называется равномерно непрерывной в области G, если для каждого существует зависящее только от , такое что для любых точек и из G имеет место неравенство при . Функция непрерывна в ограниченной и замкнутой области, равномерно непрерывна в этой области.

§3. Частные производные. Дифференциал функции.

Частные производные. Результат частного дифференцирования функции нескольких переменных не зависит от порядка дифференцирования, если все производные, входящие в вычисление, непрерывны.

Дифференциал функции. Если полное приращение функции от независимых переменных может быть представлено в виде где А,В,С не зависят от величин то функция называется дифференцируемой в точке , а линейная часть приращения , равная , где называется дифференциалом этой функции.

Формула (1) сохраняет свое значение и в том случае, когда переменные являются некоторыми дифференцируемыми функциями от независимых переменных.

Если - независимые переменные, и функция имеет непрерывные частные производные до n-го порядка включительно, то для дифференциалов высших порядков имеет место символическая формула

§4. Производная сложной функции.

Если - дифференцируемая функция и , где функции дифференцируемы, то

,

.

Для вычисления производственных второго порядка функции полезно пользоваться символическими формулами:

и

,

где

;

.

§5. Производная в данном направлении.

Если направление в пространстве характеризуется направляющими косинусами: и функция дифференцируема, то производная по данному направлению вычисляется по формуле

.

Скорость наибольшего роста функции в данной точке по модулю и направлению определяется вектором – градиентом функции:

; .

§ 6. Достаточное условие экстремума.

Функция в точке имеет:

А) максимум, если , при ,

Б) минимум, если , при ,

Исследование знака второго дифференциала может быть произведено путем приведения соответствующей квадратичной формы к каноническому виду.

В частности для случая функции двух независимых переменных х и у в стационарной точке при условии, что , где имеем:

а) минимум, если

б) максимум, если

в) отсутствие экстремума, если .

§ 7. Условный экстремум.

Задача определения экстремума функции при наличии ряда соотношений ) сводится к нахождению обычного экстремума для функции Лагранжа

,

где – постоянные множители.

Вопрос о существовании и характере условного экстремума в простейшем случае решается на основании исследования знака второго дифференциала в стационарной точке функции при условии, что переменные связаны соотношениями:

.

Задача 1. Дана функция . Покажем, что

Решение. Пусть точка O=(0;0); – расстояние от начала координат до точки М. Предположим, что выполнено неравенство . Тогда получим Согласно определению предела, число – есть предел функции.

Задача 2. Пусть Показать, что функция не имеет предела в точке O=(0;0).

Решение. Рассмотрим поведение функции на лучах Имеем , поэтому при . При различных значениях получаются разные числа. Следовательно, данная функция в точке O(0,0) предела не имеет.

Задача 3. Пусть Показать, что функция не имеет предела в точке O=(0;0).

Решение. Рассмотрим поведение функции на лучах Имеем При этом , когда , т.е.

Пусть теперь тогда Таким образом, данная функция в точке O(0,0) предела не имеет.

Задача 4. Решение. Найти частные производные первого и второго порядков от функции .

Решение. Вычислим частные производные первого порядка . Далее получим .

Задача 5. Найти частные производные первого и второго порядков от

функции .

Решение. Вычислим частные производные первого порядка . Далее получим .

Задача 6. Найти частные производные первого и второго порядков от

функции .

Решение. Вычислим частные производные первого порядка . Далее получим

Задача 7. Найти частные производные первого и второго порядков от

функции .

Решение. Вычислим частные производные первого порядка . Далее получим .

Задача 8. Найти градиент функции в точке

Решение. Найдем частные производные Находим их значения в точке grad

Задача 9. Найти градиент функции в точке

Решение. Имеем: Их значения в точке

.

Задача 10. Найти стационарные точки функции и исследовать их характер.

Решение. Вычисляем частные производные , . Решаем систему двух уравнений или . Находим решения системы: . Таким образом, стационарные точки функции : и . Вычисляем производные второго порядка: , , . В каждой стационарной точке вычисляем значение выражения , где , , .

В точке имеем , , , . Следовательно, точка не является точкой экстремума.

В точке имеем , , , . Следовательно, точка является точкой экстремума. Так как , то точка является точкой минимума.