Глава III. Интегральное исчисление

§1. Неопределенный интеграл.

1. Понятие неопределенного интеграла.

Если функция и определена на сегменте промежутке и ее первообразная, т.е. при , то .

2. Основные свойства.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

Д) .

3. Таблица простейших интегралов:

I. . II. .

III. IV.

V. VI. .

VII. . .

VIII. IX.

X. . XI. .

XII. . XIII. .

XIV. . XV. .

§2. Основные методы интегрирования.

а) Метод введения нового аргумента. Если , то , где .

б) Метод разложения. Если .

в) Метод подстановки. Если непрерывна, то, полагая, , где непрерывна со своей производной, получим:

.

г) Метод интегрирования по частям. Если и дифференцируемые функции от , тогда .

Задача 1. Найти интеграл .

Решение. Для удобства введем обозначение . Для функции имеем табличный интеграл . Преобразуем подынтегральную функцию к такому виду, для которого записан табличный интеграл . Поэтому, записывая его при значении параметра , получим ответ .

Задача 2. Найти интеграл .

Решение. Введем замену переменных . Тогда

Задача 3. Найти интеграл .

Решение. Используем замену . Тогда .

Задача 4. Найти интеграл .

Решение. Положим и применим интегрирование по частям

, полагая . Тогда получим и запишем интеграл .

Если в формуле интегрирования по частям положить , получим , . Вместо подавления степени x получили повышение показателя степени. Таким образом, при интегрировании по частям следует добиваться того, чтобы интеграл был бы более простого вида.

Задача 5. Найти интеграл .

Решение. Положим , . Тогда имеем , и находим . Далее применяя метод подведения под знак дифференциала, получим и запишем .

Задача 6. Найти интеграл .

Решение. С учетом того, что знаменатель имеет простые корни, запишем разложение для подынтегральной функции в следующем виде

.

Далее, освобождаясь от знаменателя, получим равенство

В полученное равенство подставляем значения корней знаменателя, и приходим к уравнениям для определения неизвестных коэффициентов разложения: 1) значение первого простого корня , тогда или 2) полагаем , соответствующим второму корню, тогда 3) примем , имеем Подставляя найденные коэффициенты, получим

.

Задача 7. Найти интеграл .

Решение. Имеем

.

Задача 8. Найти интеграл

Решение.

.

Задача 9. Найти интеграл .

Решение. Применим универсальную тригонометрическую подстановку . С учетом выражений синуса и косинуса аргумента x, получим:

. Подставляя в интеграл, и применяя замену, находим

.

.

§3. Определенный и несобственный интегралы.

3.1. Определенный интеграл.

1. Формула Ньютона –Лейбница. Если определена и непрерывна на сегменте и ее первообразная, то .

Определенный интеграл при геометрически представляет собой площадь S, ограниченную кривой , осью Ox и двумя перпендикулярами к оси Ox: и .

2. Формула интегрирования по частям. Если , тогда

.

2. Замена переменной. Если: 1) непрерывна на сегменте ; 2) непрерывна со своей производной на сегменте , где , ; 3) сложная функция непрерывна на сегменте , тогда

.

3.2. Несобственные интегралы

1. Несобственная интегрируемость функции.

Если функция собственно интегрируема на каждом конечном сегменте , то, по определению, полагают .(1)

2. Если функция не ограничена в окрестности точки и собственно интегрируема на каждом сегменте , то принимают . (2)

Если пределы (1) или (2) существуют, то соответствующий интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся (в широком смысле).

2. Критерий Коши. Для сходимости интеграла (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало число такое, что при любых и было бы выполнено неравенство .

Аналогично формируется критерий Коши для интеграла типа (2).

3. Признаки абсолютной сходимости. Если несобственно интегрируема, то соответствующий элементарный интеграл (1) или (2) от функции называется абсолютно сходящимся и является интегралом заведомо сходящимся.

Признак сравнения I. Пусть при Если сходится, то интеграл сходится абсолютно.

Признак сравнения II. Если и при , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно. В частности, это имеет место если при

Признак сравнения III.

а) Пусть при В таком случае интеграл (1) сходится, если и расходится, если

б) пусть при .

В таком случае интеграл (2) сходится, если и расходится, если

Задача 1. С помощью подходящей подстановки вычислить интеграл

Решение. Введем подстановку . Тогда , Подставляя найденные нижний и верхний пределы интегрирования, получим

Ответ:

Задача 2. Вычислить интеграл

Решение. Положим . Тогда . Отсюда получим

Задача 3. Вычислить определенный интеграл .

Решение.

Задача 4. Вычислить определенный интеграл

Решение. Запишем формулу интегрирования по частям для определенного интеграла . Интегрируя по частям получим,

.

Вычислим теперь интеграл в правой части, также применяя интегрирование по частям

В результате получим в окончательном виде .

Задача 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость .

Решение. Функция не ограничена в любой окрестности точки , поэтому по определению несобственного интеграла, полагаем . Таким образом, интеграл

,

т.е. он сходится.

§4. Геометрические приложения определенного интеграла.