![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Интервал сходимости. Для каждого степенного ряда ,существует замкнутый интервал сходимости:
, внутри которого данный ряд сходится, а вне расходится. Радиус сходимости R определяется по формуле Коши-Адамара
. Радиус сходимости R может быть вычислен также по формуле
если этот предел существует.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в концевой точке x=R интервала сходимости, что
Ряд Тейлора. Аналитическая в точке а функция в некоторой окрестности этой точки разлагается в степенной ряд
.
Остаточный член этого ряда
можно представить в виде
(форма Лагранжа) или в виде
(форма Коши).
Необходимо помнить следующие пять основных разложений:
I.
II.
III.
IV.
2.1. Исследование сходимости степенных рядов.
Пример 1. Исследовать сходимость степенного ряда .
Решение. Запишем коэффициент и найдем радиус сходимости по формуле
. Интервал сходимости данного ряда интервал
. Полагая
получим расходящийся ряд, так как для него нарушено необходимое условие сходимости. Для значения
имеем знакопеременный ряд
. Его частичные суммы
, а
неограниченны, поэтому ряд расходится. Таким образом, множество сходимости ряда интервал
.
Пример 2. Найти множество сходимости ряда .
Решение. Запишем коэффициент степенного ряда и, с учетом его вида, найдем радиус сходимости по формуле
. Множество сходимости ряда
.
Пример 3. Найти множество сходимости ряда .
Решение. Запишем коэффициент и найдем радиус сходимости по формуле
. Интервал сходимости данного ряда интервал
. Рассмотрим теперь сходимость на концах интервала.
Полагая , получим числовой ряд
. Имеем
. Выясним теперь сходимость несобственного интеграла
. Применяя подстановку
, убедимся в его расходимости. Следовательно, расходится согласно интегральному признаку Коши, и числовой ряд.
Для значения имеем знакопеременный ряд
. Для него выполнены условия сходимости по признаку Лейбница. Таким образом, множество сходимости ряда
.
2.2 Приложения степенных рядов.
Здесь следует обратить внимание на то, что приложения степенных рядов к ряду практических задач в курсе математического анализа встречаются на раннем этапе. В частности, при рассмотрении формулы Тейлора приходится сталкиваться с выполнением приближенных вычислений или представлением функций в виде степенного ряда. Также при численном интегрировании применяется разложение подынтегральной функции в ряд. В связи с вышеизложенным, нам представляется целесообразным разбор таких задач на более углубленном, требующем понимания основных свойств рядов, примерах с детальной оценкой погрешности, возникающей при вычислениях. Кроме того, в целях демонстрации эффективного применения рядов при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений(ОДУ0, нами рассмотрены решения достаточно сложных ОДУ.
2.2.1. Приближенные вычисления.
Пример 1. Вычислить с точностью до значение sin 3
.
Решение. Используя разложение функции при
запишем
sin3 , так как этот ряд удовлетворяет признаку Лейбница, его остаток не превышает по абсолютной величине первого из членов в
. Найдем n из условия
:
при имеем
;
при
;
для выполнено неравенство:
.
Следовательно, нужно взять два члена разложения и .
Пример 2. Вычислите значение с точностью до
.
Решение: Поскольку для разложения в степенной ряд записывается для функций найдем значение
из равенства
,
. Тогда, используя разложения
найдем:
Таким образом, .
Оценим т.е. можно ограничиться 4-мя членами: Окончательно,
.
2.2.2. Вычисление определенных интегралов.
Пример 3. Вычислить интервал с точностью до 0,001.
Решение: С учетом табличного разложения , получим
Далее, интегрируя данное выражение на отрезке
, получим
=
=
Полученный ряд можно интерпретировать как разность двух знакочередующихся сходящихся рядов, удовлетворяющих признаку Лейбница:
(*),
(**).
Тогда для ряда (*) имеем и для
–
поэтому то
=.
.
Пример 4. Вычислить с точностью до интервал
.
Решение: Т.к. =
, интегрируя этот ряд, на
получим
=
Нужно найти теперь число членов, обеспечивающих заданную точность (ряд удовлетворяет признаку Лейбница):
при имеем:
Таким образом, приближенное значение
.
2.2.3. Вычисление пределов.
Пример 5. Вычислить применяя разложение функции по формуле Тейлора.
Решение: Запишем равенства
. Тогда
отсюда
.
Пример 6. Вычислить предел с применением формуле Тейлора:
Решение. Для удобства положим Приведем теперь биномиальное разложение вида
.
Полагая и
, запишем эквивалентности:
,
.
Принимая во внимание вышеприведенные соотношения, получим:
.
Тогда, с учетом этих разложений, находим
Пример 7. Вычислить с применением формулы Тейлора предел
.
Решение. Имеем следующую эквивалентность:
В окончательном виде получим следующее отношение
.
Представим степенно-показательное выражение через экспоненту:
.
Поскольку получим
; и в окончательном виде искомый предел
.
2.2.4. Применение степенных рядов для
решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пример 8. Методом неопределенных коэффициентов, найти общее решение дифференциального уравнения
в виде степенного ряда с центром в нуле.
Решение: Запишем дифференциальное уравнение в виде степенного ряда с центром в нуле с неопределенными коэффициентами
. Найдем производные от степенного ряда
,
и подставим их выражения в дифференциальное уравнение
+
.
Преобразуем полученное выражение
;
или
.
Таким образом:
;
;
.
Последняя формула представляет собой рекуррентное соотношение для вычисления коэффициентов степенного ряда. Зададим теперь:
.
Тогда т.е.
. Аналогично получим выражение
Окончательное выражение для решения принимает вид
,
где – произведение всех четных чисел от 1 до
;
– произведение нечетных чисел от 1 до
.
Пример 9. Найти общее решение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ)
в окрестности особой точки в виде степенного ряда или обобщенного степенного ряда с центром в нуле.
Решение: Запишем разложение в степенной ряд искомого решения: . Дифференцируя этот ряд, найдем производные:
;
и, подставляя их в уравнение, получим равенство:
Выпишем теперь коэффициенты при степени :
. Получаем квадратное уравнение
. Его корни:
. Для каждого корня имеем свое решение в виде обобщенного ряда.
1. Положим и перепишем вышеприведенное равенство:
Выпишем теперь коэффициенты при степени
:
или
.
Получим теперь рекуррентное соотношение для вычисления коэффициентов ряда. Для этого представим дифференциальное уравнение в виде
Отсюда следует равенство
. (1)
Перепишем его в виде . Отсюда получаем искомое выражение
при
. В частности, имеем равенство
. Положим теперь
. Тогда равенство (1) принимает вид
.
Поскольку , то с учетом рекуррентного соотношения, находим, что
при
. Таким образом, получено решение ОДУ в виде
.
2. Положим и перепишем вышеприведенное равенство:
Выпишем теперь коэффициенты при степени
:
или
.
Получим теперь рекуррентное соотношение для вычисления коэффициентов ряда. Для этого представим дифференциальное уравнение в виде
Отсюда следует равенство
. (1)
Перепишем его в виде . Получаем искомое выражение
. В частности, имеем равенство
,
.
Таким образом, получено решение ОДУ в виде
.
Преобразуем полученное выражение для решения. Обратимся к разложению
и перепишем решение в виде .
Тогда решение ОДУ в окончательной форме принимает следующий вид
.
2.2.5.Вычисления в среде MATHCAD.
С целью показа точности вычислений, производимых с применением степенных рядов, рассмотрим некоторые примеры вычислений.
При этом в качестве инструментального средства выберем пакет MATHCAD какой-либо версии. Поскольку при вычислениях не производится каких-либо сложных действий, связанных с программированием (например, с циклами), ограничимся лишь показом иллюстраций, дающих полное представление для выполняемых символьных операций.
Ниже приводится набор необходимых инструментальных средств: «Symbolic», «Сalculus» и «Calculator».
Покажем, как получить значения функций, для которых использовалось представление функции в виде степенного ряда. Найдем, например, значение . Для набора в меню «Calculator» выберем ln, затем подставим его аргумент. Далее, в этом же меню выберем знак равенства.
Для вычисления определенных интегралов следует выбрать в меню «Сalculus» шаблон, соответствующий данной операции, и осуществить ввод подынтегральной функции и границ интегрирования.
Остановимся теперь на разложении функций в ряд. Для этого выбирается в «Symbolic» оператор Series. Перед ним указывается функция, затем аргумент и порядок переменной, до которого производится представление в виде полинома.
На приведенной заставке показаны демонстрационные вычисления, свидетельствующие о совпадении с определенной точностью с разобранными в примерах вычислениями. Аналогично можно находить пределы, предварительно выполняя разложение в степенной ряд входящих в выражения функций.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 850 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!