Степенные ряды

Интервал сходимости. Для каждого степенного ряда ,существует замкнутый интервал сходимости: , внутри которого данный ряд сходится, а вне расходится. Радиус сходимости R определяется по формуле Коши-Адамара . Радиус сходимости R может быть вычислен также по формуле если этот предел существует.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в концевой точке x=R интервала сходимости, что

Ряд Тейлора. Аналитическая в точке а функция в некоторой окрестности этой точки разлагается в степенной ряд

.

Остаточный член этого ряда

можно представить в виде

(форма Лагранжа) или в виде

(форма Коши).

Необходимо помнить следующие пять основных разложений:

I.

II.

III.

IV.

2.1. Исследование сходимости степенных рядов.

Пример 1. Исследовать сходимость степенного ряда .

Решение. Запишем коэффициент и найдем радиус сходимости по формуле . Интервал сходимости данного ряда интервал . Полагая получим расходящийся ряд, так как для него нарушено необходимое условие сходимости. Для значения имеем знакопеременный ряд . Его частичные суммы , а неограниченны, поэтому ряд расходится. Таким образом, множество сходимости ряда интервал .

Пример 2. Найти множество сходимости ряда .

Решение. Запишем коэффициент степенного ряда и, с учетом его вида, найдем радиус сходимости по формуле . Множество сходимости ряда .

Пример 3. Найти множество сходимости ряда .

Решение. Запишем коэффициент и найдем радиус сходимости по формуле . Интервал сходимости данного ряда интервал . Рассмотрим теперь сходимость на концах интервала.

Полагая , получим числовой ряд . Имеем . Выясним теперь сходимость несобственного интеграла . Применяя подстановку , убедимся в его расходимости. Следовательно, расходится согласно интегральному признаку Коши, и числовой ряд.

Для значения имеем знакопеременный ряд . Для него выполнены условия сходимости по признаку Лейбница. Таким образом, множество сходимости ряда .

2.2 Приложения степенных рядов.

Здесь следует обратить внимание на то, что приложения степенных рядов к ряду практических задач в курсе математического анализа встречаются на раннем этапе. В частности, при рассмотрении формулы Тейлора приходится сталкиваться с выполнением приближенных вычислений или представлением функций в виде степенного ряда. Также при численном интегрировании применяется разложение подынтегральной функции в ряд. В связи с вышеизложенным, нам представляется целесообразным разбор таких задач на более углубленном, требующем понимания основных свойств рядов, примерах с детальной оценкой погрешности, возникающей при вычислениях. Кроме того, в целях демонстрации эффективного применения рядов при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений(ОДУ0, нами рассмотрены решения достаточно сложных ОДУ.

2.2.1. Приближенные вычисления.

Пример 1. Вычислить с точностью до значение sin 3 .

Решение. Используя разложение функции при запишем

sin3 , так как этот ряд удовлетворяет признаку Лейбница, его остаток не превышает по абсолютной величине первого из членов в . Найдем n из условия :

при имеем ;

при ;

для выполнено неравенство: .

Следовательно, нужно взять два члена разложения и .

Пример 2. Вычислите значение с точностью до .

Решение: Поскольку для разложения в степенной ряд записывается для функций найдем значение из равенства

, . Тогда, используя разложения

найдем:

Таким образом, .

Оценим т.е. можно ограничиться 4-мя членами: Окончательно, .

2.2.2. Вычисление определенных интегралов.

Пример 3. Вычислить интервал с точностью до 0,001.

Решение: С учетом табличного разложения , получим Далее, интегрируя данное выражение на отрезке , получим

= =

Полученный ряд можно интерпретировать как разность двух знакочередующихся сходящихся рядов, удовлетворяющих признаку Лейбница:

(*), (**).

Тогда для ряда (*) имеем и для – поэтому то =. .

Пример 4. Вычислить с точностью до интервал .

Решение: Т.к. = , интегрируя этот ряд, на получим =

Нужно найти теперь число членов, обеспечивающих заданную точность (ряд удовлетворяет признаку Лейбница):

при имеем: Таким образом, приближенное значение .

2.2.3. Вычисление пределов.

Пример 5. Вычислить применяя разложение функции по формуле Тейлора.

Решение: Запишем равенства . Тогда отсюда .

Пример 6. Вычислить предел с применением формуле Тейлора:

Решение. Для удобства положим Приведем теперь биномиальное разложение вида

.

Полагая и , запишем эквивалентности:

, .

Принимая во внимание вышеприведенные соотношения, получим:

.

Тогда, с учетом этих разложений, находим

Пример 7. Вычислить с применением формулы Тейлора предел

.

Решение. Имеем следующую эквивалентность:

В окончательном виде получим следующее отношение

.

Представим степенно-показательное выражение через экспоненту:

.

Поскольку получим ; и в окончательном виде искомый предел .

2.2.4. Применение степенных рядов для

решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пример 8. Методом неопределенных коэффициентов, найти общее решение дифференциального уравнения

в виде степенного ряда с центром в нуле.

Решение: Запишем дифференциальное уравнение в виде степенного ряда с центром в нуле с неопределенными коэффициентами . Найдем производные от степенного ряда

,

и подставим их выражения в дифференциальное уравнение

+ .

Преобразуем полученное выражение

;

или

.

Таким образом:

; ; .

Последняя формула представляет собой рекуррентное соотношение для вычисления коэффициентов степенного ряда. Зададим теперь:

.

Тогда т.е. . Аналогично получим выражение

Окончательное выражение для решения принимает вид

,

где – произведение всех четных чисел от 1 до ; – произведение нечетных чисел от 1 до .

Пример 9. Найти общее решение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ)

в окрестности особой точки в виде степенного ряда или обобщенного степенного ряда с центром в нуле.

Решение: Запишем разложение в степенной ряд искомого решения: . Дифференцируя этот ряд, найдем производные:

;

и, подставляя их в уравнение, получим равенство:

Выпишем теперь коэффициенты при степени : . Получаем квадратное уравнение . Его корни: . Для каждого корня имеем свое решение в виде обобщенного ряда.

1. Положим и перепишем вышеприведенное равенство:

Выпишем теперь коэффициенты при степени : или .

Получим теперь рекуррентное соотношение для вычисления коэффициентов ряда. Для этого представим дифференциальное уравнение в виде

Отсюда следует равенство

. (1)

Перепишем его в виде . Отсюда получаем искомое выражение при . В частности, имеем равенство . Положим теперь . Тогда равенство (1) принимает вид

.

Поскольку , то с учетом рекуррентного соотношения, находим, что при . Таким образом, получено решение ОДУ в виде

.

2. Положим и перепишем вышеприведенное равенство:

Выпишем теперь коэффициенты при степени : или .

Получим теперь рекуррентное соотношение для вычисления коэффициентов ряда. Для этого представим дифференциальное уравнение в виде

Отсюда следует равенство

. (1)

Перепишем его в виде . Получаем искомое выражение . В частности, имеем равенство , .

Таким образом, получено решение ОДУ в виде

.

Преобразуем полученное выражение для решения. Обратимся к разложению

и перепишем решение в виде .

Тогда решение ОДУ в окончательной форме принимает следующий вид

.

2.2.5.Вычисления в среде MATHCAD.

С целью показа точности вычислений, производимых с применением степенных рядов, рассмотрим некоторые примеры вычислений.

При этом в качестве инструментального средства выберем пакет MATHCAD какой-либо версии. Поскольку при вычислениях не производится каких-либо сложных действий, связанных с программированием (например, с циклами), ограничимся лишь показом иллюстраций, дающих полное представление для выполняемых символьных операций.

Ниже приводится набор необходимых инструментальных средств: «Symbolic», «Сalculus» и «Calculator».

Покажем, как получить значения функций, для которых использовалось представление функции в виде степенного ряда. Найдем, например, значение . Для набора в меню «Calculator» выберем ln, затем подставим его аргумент. Далее, в этом же меню выберем знак равенства.

Для вычисления определенных интегралов следует выбрать в меню «Сalculus» шаблон, соответствующий данной операции, и осуществить ввод подынтегральной функции и границ интегрирования.

Остановимся теперь на разложении функций в ряд. Для этого выбирается в «Symbolic» оператор Series. Перед ним указывается функция, затем аргумент и порядок переменной, до которого производится представление в виде полинома.

На приведенной заставке показаны демонстрационные вычисления, свидетельствующие о совпадении с определенной точностью с разобранными в примерах вычислениями. Аналогично можно находить пределы, предварительно выполняя разложение в степенной ряд входящих в выражения функций.