Глава II. Производная

§1. Понятие производной. Табличные производные.

1. Определение производной. Выражение

,

если оно имеет смысл, носит название производной, а сама функция называется дифференцируемой.

Геометрически число представляет собой угловой коэффициент к графику функции в точке (.

2. Основные правила дифференцирования.

Если С– постоянная, функции дифференцируемы, то

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

3. Основные формулы.

I. . II. . III. .

IV. . V. VI. .

VII. . VIII. . IX.

X. . XI. . XII. . XIII. . XIV. . XV. .

3.1. Производные функций, заданных по специальному типу.

1. Производная обратной функции. Дифференцируемая функция с производной имеет однозначную непрерывную обратную функцию , причем обратная функция также дифференцируема, тогда справедлива формула .

2. Производная при параметрическом задании функции. Пусть . Тогда .

3. Производная неявно заданной функции. Если дифференцируемая функция удовлетворяет уравнению то производная

находится из уравнения где рассматривается как сложная функция переменной .

§2. Правила дифференцирования.

2.1.Производная сложной функции.

Предположим, что задана сложная функция вида . Тогда ее производная находится по формуле .

Первый сомножитель означает, что функция f рассматривается от сложного аргумента и дифференцирование ведется по этому аргументу. Далее в найденную производную подставляется выражение сложного аргумента как функции аргумента x. Поэтому при нахождении производной от этого типа функций при наличии сложных зависимостей нужно сначала ввести сложный аргумент, после чего найти раздельно производные по переменным. Рассмотрим некоторые примеры на данное правило.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Введем сложный аргумент . Тогда . Затем найдем раздельно производные по переменным: . Теперь запишем формулу для производной сложной функции и подставим найденные производные .

Следует отметить, что, в свою очередь, сложный аргумент сам может быть представлен в виде композиции. Тогда имеет место повторное применение правила нахождения производной от суперпозиции функций. Перейдем к рассмотрению таких случаев.

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. Введем сложный аргумент . Тогда . Затем найдем раздельно производные по переменным: . Теперь запишем формулу для производной сложной функции и подставим найденные производные . Этот же пример можно решить по-другому.

Для этого следует принять следующую композицию функций: Результат получится тот же.

Пример 3. Найти производную функции .

Введем сложный аргумент . Тогда . Затем найдем раздельно производные по переменным: . Теперь запишем формулу для производной сложной функции и подставим найденные производные . Заметим, что переходя к аргументу x, можно упростить выражение для показательной функции за счет понижения степени тригонометрической зависимости.

2.2. Производные от частного и произведения функций

Приведем правила нахождения производной для рассматриваемых операций: ; . Представим некоторые примеры на данные правила.

Пример 4. Найти производную функции .

Решение. Имеем: . Здесь достаточно простой вид сомножителей предоставляет возможность непосредственной подстановки в соответствующую формулу выражений производных.

В некоторых случаях сомножители могут представлять достаточно сложную зависимость от аргумента. Например, один из сомножителей является сложной функцией. Тогда следует предварительно найти производные от каждой функции и подставить затем их выражения в формулу для производной от произведения. Такой же подход используется и для производной от отношения двух функций, когда они задаются достаточно сложными выражениями.

Пример 5. Найти производную функции .

Решение. Поскольку один из сомножителей является сложной функцией,

предварительно найдем производные от каждой функции и подставим затем их выражения в формулу для производной от произведения. Имеем: Подставляя найденные выражения в формулу производной от частного функций, получим .

Пример 6. Найти производную функции .

Решение. Имеем: . Здесь достаточно простой вид сомножителей предоставляет возможность непосредственной подстановки в соответствующую формулу выражений производных, тем не менее, окончательное выражение для производной получается после выполнения преобразований. Имеем:

.

2.3. Производная степенно-показательной функции.

Рассмотрим теперь степенно-показательную функцию вида . Для нахождения производной такой функции применяется логарифмическая производная. Логарифмируя исходную зависимость, получим: . Дифференцируя последнее равенство и, принимая во внимание правило дифференцирования сложной функции, запишем: и находим искомую производную в виде . При вычислении производной нужно найти производные функций и , затем воспользоваться приведенной формулой.

Пример 7. Найти производную функции .

Решение. Предварительно напомним, что, по определению гиперболических функций, (синус гиперболический), (косинус гиперболический), (тангенс гиперболический), (тангенс гиперболический). Логарифмируя исходную зависимость, получим . Дифференцируя последнее равенство и, принимая во внимание правило дифференцирования сложной функции, запишем: . Отсюда получим

§3. Производные функций, заданных по специальному типу.

1. Производная обратной функции. Дифференцируемая функция с производной имеет однозначную непрерывную обратную функцию , причем обратная функция также дифференцируема, тогда справедлива формула .

2. Производная при параметрическом задании функции. Пусть . Тогда .

3. Производная неявно заданной функции. Если дифференцируемая функция удовлетворяет уравнению то производная

находится из уравнения где рассматривается как сложная функция переменной .

Пример 8. Найти производную функцию, заданной неявно Решение: Для данной функции уравнение имеет вид

Дифференцируем его по x, получим: или , или Отсюда находим или . Принимая во внимание уравнение , получим .

Пример 9. Найти производную функции, заданной неявно .

Решение. Продифференцируем уравнение по или Отсюда получим производную

§4. Приложения производной.

4.1. Геометрические.

1. Уравнение касате6льной и нормали. Уравнения касательной МТ и нормали MN к графику дифференцируемой функции в точке его соответственно имеют вид:

1. Написать уравнение касательной и нормали или полукасательной к кривой в заданной точке: , а) ; б) .

Решение. а) Вычислим производную . Имеем: , Поэтому уравнение касательной в точке запишется как б) Имеем: , Поэтому уравнение касательной в точке запишется как

Ниже представлена кривая и касательная в точке .

2. Написать уравнение касательной и нормали или полукасательной к кривой в заданной точке: , а) ; б) .

Решение. а) Вычислим производную . Имеем: , Поэтому уравнение касательной в точке запишется как б) Имеем: , Поэтому уравнение касательной в точке запишется как . Ниже представлена кривая и касательная в точке .

4.2. Возрастание и убывание функции.

Достаточный признак возрастания(убывания) функции. Если функция непрерывна на сегменте и внутри него имеет положительную (отрицательную) производную, то функция возрастает(убывает) на

.

4.3. Направление вогнутости. Точки перегиба.

График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз(вверх), если отрезок кривой расположен выше(ниже) касательной, проведенной в любой точке этого отрезка.

Достаточное условие выпуклости вниз(вверх): в предположении существования второй производной выполнено неравенство () при .

Точки перегиба. Точки, в которых меняется направление выпуклости, называются точками перегиба. Точка, в которой либо не существует, причем имеет смысл, либо , есть точка перегиба, если меняет знак при переходе через эту точку.

4.4. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Достаточное условие экстремума. Если функция имеет вторую производную, причем в окрестности некоторой точки , то в этой точке функция имеет экстремум: максимум, когда и минимум, когда .

4.5. Построение графиков функций по характерным точкам.

Для построения графиков функций по характерным точкам нужно: 1) определить область существования функции; исследовать ее поведение в граничных точках; 2) выяснить свойства: четность, нечетность, периодичность; 3) найти точки разрыва и промежутки непрерывности; 4) определить нули функции и области знакопостоянства; 5) определить точки экстремума и выяснить промежутки возрастания и убывания; 6) найти точки перегиба и установить промежутки направления выпуклости графика функции; 7) найти асимптоты в случае их существования; 8) указать те или иные особенности графика.

§5. Применение производной к исследованию функции

1. Построить график функции с применением производной: .

Область определения данной функции – вся числовая ось. Функция знакоположительна. График функции, как легко видеть(с применением правила Лопиталя), имеет горизонтальную асимптоту . Вычислим производную: . Из выражения для производной находим интервалы монотонности: возрастает на интервале и убывает вне этого интервала. Найдем вторую производную: . Определим корни уравнения

, . Находим точки перегиба: и .

При и график выпуклый вниз, и выпуклый вверх на интервале . С учетом указанных особенностей поведения функции, построим график.

2. Построить график функции с применением производной: .

Область определения данной функции – вся числовая ось за исключением значений . Поэтому прямые представляют вертикальные асимптоты. При этом , .График функции, как легко видеть, имеет горизонтальную асимптоту .

Вычислим производную: .

Из выражения для производной находим интервалы монотонности: возрастает на интервале и убывает вне этого интервала. Найдем вторую производную: . Определим корни уравнения

, . Находим точки перегиба: и .

При и график выпуклый вниз, и выпуклый вверх на интервале . С учетом указанных особенностей поведения функции, строим график.

§6. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

Производные высших порядков от функции определяются последовательно соотношениями(в предположении, что соответствующие операции имеют смысл):

Основные формулы:

I. . II. . III. .

IV. . V.

9. Формула Тейлора. Если: 1) функция определена на сегменте ; 2) имеет на этом сегменте непрерывные производные , ; 3) при существует конечная производная , то

,

где остаточный член в форме Лагранжа.

Пример 1. Дана функция . Найти .

Решение: Представим в виде , где

.

Воспользуемся формулой Лейбница для производных -го порядка

где – число сочетаний из n элементов по . Очевидно, . Далее выпишем производные: ; ; .

С учетом этих равенств, искомая производная .

Пример 2. Дана функция . Найти .

Решение. Положим . Далее, производная при . Поэтому = . Находим необходимые производные ; , и запишем выражение для производной требуемого порядка

.

Пример 3. Многочлен разложить по степеням двучлена .

Решение. Положим . Тогда и многочлен принимает вид

.

Используя разложение в ряд Маклорена для последнего многочлена, получим Пример 4. Написать разложение функции по целым неотрицательным степеням x до члена с .

Решение: Положим и запишем разложение . Тогда

Пример 5. Написать разложение функции до члена с .

Решение: .

Имеем

.

Пример 6. Написать разложение функции до члена с .

Решение: Запишем .

Имеем ; ;

; ;

=

;

Таким образом, .

Пример 7. С помощью формулы Тейлора приближено вычислить .

Решение: Воспользуемся стандартным разложением (биноминальным):

Предварительно запишем . Далее зададим значения

. Примем и приведем разложение

,

.

Подставляя теперь значение , находим

или .

Пример 6.. С помощью формулы Тейлора приближено вычислить .

Решение: Имеем . Полагаем теперь тогда