Глава I. Введение в анализ

§1. Множества на числовой прямой и плоскости.

Задача 1. Определить множества значений x, удовлетворяющих следующим условиям: 1.1 ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. .

1.1 . Решение. Данное множество представляет открытый интервал .

1.2. . Решение. Данное множество представляет замкнутый сегмент .

1.3. . Решение. Данное множество представляет совокупность точек числовой оси без открытого интервала :

1.4. . Решение. Данное множество представляет замкнутый сегмент .

Задача 2. Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют соотношениям:

2.1. . 2.2.

2.3. . 2.4. .

2.1. .

Решение. Данное множество точек представляет совокупность точек области на плоскости, ограниченную: сверху – контуром параболы , снизу –контуром параболы , при этом граничные точки также входят во множество. Геометрическая схема показана на рис.1.

2.2.

Решение. Данное множество точек представляет совокупность точек области на плоскости, ограниченную: сверху – отрезком прямой , снизу –контуром параболы , при этом граничные точки также входят во множество. Геометрическая схема показана на рис.2.

Рис.1 . Рис.2

2.3. .

Решение. Пусть точка принадлежит данному множеству. Тогда точки и также входят в это множество. Поэтому данная область симметрична относительно осей координат. Рассмотрим подмножество точек, находящихся в первом координатном угле. Получим для него неравенства или . Теперь становится ясным, что в данное множество входят точки, расположенные ниже параболы . С учетом наличия симметрии относительно координатных осей, получим геометрическую схему, показанную на рис. 3.

2.4. .

Решение. Пусть точка принадлежит данному множеству. Тогда точки и также входят в это множество. Поэтому данная область симметрична относительно осей координат. Рассмотрим подмножество точек, находящихся в первом координатном угле. Получим

для него неравенства или . Теперь становится ясным, что в данное множество входят точки, расположенные ниже дуги окружности . С учетом наличия симметрии относительно координатных осей, получим геометрическую схему, показанную на рис.4.

Рис. 3. Рис.4.

§2. Пределы. Вычисление пределов.

Предел функции. Говорят, что при , или , если для любого существует такое, что при .

Аналогично, , если при . Употребляется также условная запись , которая означает, что , где – любое число.

Если существуют и , то имеют место теоремы:

1) ;

2) ;

3) ().

Частое применение находят два замечательных предела: I. ;

II. (число Эйлера) либо . Представим их в виде эквивалентностей: , при .

Пример 1. Покажем, используя определение предела функции в точке, что .

Решение. Зададимся числом и запишем неравенство . Далее выполним несложные преобразования по разложению на множители выражения . Решим квадратное уравнение . Находим его корни . Имеем , поэтому запишем . После преобразования приходим к эквивалентному неравенству вида . Отсюда получим неравенство и в качестве искомого можно принять .

Пример 2. Вычислить предел .

Решение. Воспользуемся тем, что функция определена в предельной точке , поэтому , т.е .

Пример 3. Вычислить предел .

Решение. В данном случае функция является неопределенной в предельной точке ; более того, она представляет неопределенность вида . Поэтому необходимо выполнение преобразований, целью которых является освобождение в знаменателе от положительных степеней , так как при . Имеем ; . Принимая во внимание, что , получим:

.

Пример 4. Вычислить предел .

Решение. Функция представляет неопределенность вида . Поэтому выполним преобразования для получения отношения вида . С учетом сказанного, получим

Пример 5. Вычислить предел .

Решение. Функция представляет неопределенность вида . Поэтому выполним преобразования, целью которых является получение отношений вида , а затем типа . С учетом сказанного, умножая выражение на сопряженное , получим

Представляется целесообразным модификация таблицы эквивалентностей. Составим поэтому обобщенную таблицу эквивалентностей в следующем ее виде, когда :

1. Тригонометрические:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ;

2. Экспонециально-логарифмические:

6. ; 7. ;

8. ;

3. Биномиальная: 9. ; 10. .

Приведем ряд примеров на применение эквивалентностей. При этом могут встречаться случаи, в которых необходимо привлечение эквивалентностей различного типа, представленных в виде некоторой цепочки, напоминающих структуру сложных функций.

В начале остановимся на рассмотрении только лишь тригонометрических эквивалентностей.

Пример 6. Вычислить предел .

Решение. Обозначим для удобства . Выпишем цепочку эквивалентностей: ; ; при . Отсюда ясно, что данный предел .

Пример 7. Вычислить предел .

Решение. Обозначим для удобства . Выпишем цепочку эквивалентностей ; ; при . Отсюда ясно, что данный предел .

Обратимся теперь к применению эквивалентностей экспонециально-логарифмического типа.

Пример 8. Вычислить предел .

Решение. Приведем второй замечательный предел и эквивалентности , при . Для нахождения заданного предела запишем эквивалентности

, при .

Далее получим .

Пример 9. Вычислить предел .

Решение. Выполним переход к экспоненте: Теперь вычислим . Выпишем необходимые эквивалентности , , при . Подставляя их, получим: . Таким образом, .

Пример 10. Вычислить предел .

Решение. Выполним переход к экспоненте для степенно-показательной функции: . Принимая во внимание эквивалентности

и , находим предел

Нами были рассмотрены случаи, когда вычисление пределов требовало непосредственного привлечения эквивалентностей. Между тем, иногда требуется при нахождении пределов выполнить некие подготовительные процедуры для использования приведенных эквивалентностей. Иногда это может быть связано с тем, что аргумент x не является бесконечно малой величиной, т.е. , где . Но тогда , поэтому вводится замена:

и в выражении для предела производится подстановка .

Пример 11. Вычислить предел. .

Решение. С учетом вышеприведенного замечания, вводится замена

и в выражении для предела производится подстановка .

Тогда, в результате перехода, получим: ; . Перепишем теперь предел: . К последнему пределу уже применимы эквивалентности: ; . Поэтому находим .

Пример 12. Вычислить предел .

Решение. Примем обозначение . Введем замену и в выражении для исходного предела произведем подстановку . В результате, с учетом формул приведения, получим: .

Усложним теперь рассматриваемые примеры, расширяя применение в них сочетаний из различных типов эквивалентностей. Предварительно остановимся на использовании биномиальной эквивалентности.

Пример 13. Вычислить предел .

Решение. Запишем цепочку эквивалентностей: ; . Наконец, находим искомый предел

.

Пример 14. Найти предел .

Решение. Для решения этого примера используем биномиальные эквивалентности. Имеем следующую цепочку: ,

поскольку . В результате получим

.

Пример 15. Вычислить предел .

Решение. Применим биномиальную эквивалентность при . Запишем цепочку эквивалентностей ; при . Наконец, находим искомый предел

.