Достаточный признак точки перегиба: при переходе через точку перегиба f ``(x) меняет свой знак, что следует из определения выпуклости и вогнутости

Точка в которой f ``(x)= 0 или не существует наз. подозрительной на перегиб. Она проверяется достаточным признаком.

Пр. y = , тогда y ` = 5/3 x ^2/3 , а y`` = 10/ 9 x <sup>-1/3</sup> имеет точку разрыва при x = 0, которая делит ось на 2 интервала и поэтому подозрительна на перегиб. Проверка: y ``(-1) = -10/9, y`` (1) = 10/9, т.е. происходит смена знака, следовательно, х = 0 является точкой перегиба.

Сводная таблица.

1. y = f (x) - непрерывная, дифференцируемая на [ a,b ] функция.

2. f ` (x) > 0 на [ a,b ] - условие возрастания функции;

3. f ` (x) < 0 на [ a,b ] - условие убывания функции;

4. f ` (x ₀) = 0 - условие экстремальной точки (теорема Ферма);

5. f `` (x ₀) < 0 - условие MAX;

6. f `` (x ₀) > 0 - условие MIN;

7. f `` (x) > 0 на [ a,b ] - условие “выпуклости вниз”;

8. f `` (x) < 0 на [ a,b ] - условие “выпуклости вверх”;

9. f `` (x) = 0 - условие точки перегиба.

Асимптоты функций.

Во многих случаях график функции y = f (x) при х представляет собой кривую, которая вплотную проходит вдоль некоторой прямой. При достаточном удалении от центра такая прямая может приближенно заменить функцию y = f (x).

Опр. Прямая y = kx + b наз. наклонной асимптотой функции y = f (x), если разность их ординат стремится к нулю при х

[ f (x) - (kx + b)] = 0

Определим параметры асимптоты k и b. Из определения сразу следует

b = [ f (x) - kx)] (29)

Вычислим предел х от выражения . Он равен нулю и

k = (30)

Пр. Асимптоты гиперболы .

Уравнения типа х= а определяют вертикальные асимптоты. Необходимое и достаточное условие их появления f (x) = .

Пр. y = tg x, lim tg x = + при x /2.

Общая схема исследования функции и построения графика.

1. Находят область определения функции, точки разрыва, промежутки непрерывности;

2. Находят асимптоты графика функции;

3. Проверяют симметрию графика, периодичность;

4. Находят интервалы монотонности, экстремумы;

5. Находят точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости;

6. Находят точки пересечения с осями координат;

7. Проводят исследование на концах области определения;

8. Строят график функции.

Пр. y = - кусочно – непрерывная функция.

1) D (f) = (0,1) (1,+ ), х = 1 - точка разрыва.

2) Находим lim (x / ln x) = при x 1, т.е. х = 1 - вертикальная асимптота. Наклонной асимптоты нет, т.к. k = = 0, b = = .

3) Симметрии, периодичности нет.

4) Экстремумы: условие y` = = 0 дает ln x - 1 = 0 или x = e - подозрительную на экстремум точку, которая вместе с точкой разрыва делит D (f) на 3 интервала монотонности. Составим таблицу, где опреде-лим знаки f ` (x) и направление монотонности для каждого интервала

x	(0,1)	(1, e)	e	(e,+ )
y	\	\	min	/
y`	–	–		+

на (0, 1) y` (e <sup>-1</sup>) = – 2 < 0 y \; на (1, e) y` (e ^1/2) = –2 < 0 y \;

на (e, + ) y’ (e ²) =1/2 > 0 y /.

5) Выпуклость: условие y`` = = 0 дает ln x = 2 или x = e <sup>2</sup> - подозрительную на перегиб точку, которая вместе с точкой разрыва разделяют D (f) на 3 интервала монотонности. Составим таблицу, где определим знак f `` (x) и направление выпуклости для каждого интервала.

x	(0,1)	(1, e)	e 2	(e 2,+ )
y			т.п. e 2/2
y ``	–	+		–

на (0, 1) y`` (1/ e) = –3 e < 0 y ; на (1, e <sup>2</sup>) y`` (e) = e ^-1 > 0 y ;

на (e ²,+ ) y`` (e ³) = -1/27 e ^-3 < 0 y .

6) Точек пересечения с осями координат нет.

7) Значения функции в граничных точках: = 0;

= – ; = + ; = = =+ .

8) Строим график функции