Общее исследование графиков функции

Для построения графика функции необходимо определить её экстремумы, интервалы монотонности, точки перегиба, участки выпуклости и вогнутости, асимптоты.

Выпуклость, вогнутость.

Опр. График дифференцируемой функции y = f (x) наз. выпуклым вверх на [ a,b ], если он расположен ниже касательной,проведенной к любой его точке на [ a,b ], выпуклым вниз, если он расположен выше любой своей касательной.

При изменении х от а к b угол наклона касательных к выпуклому вверх графику уменьшается (вращение в отрицательном направлении по часовой стрелке), а для выпуклого вниз графика увеличивается (положительное направление вращения). Но монотонное изменение угла означает монотонное изменение tg = f ` (x), а условие монотонного изменения функции f ` (x) имеет вид f `` (x) > < 0. Отсюда следует достаточный признак выпуклости и вогнутости:

при f `` (x) > 0 на [ a,b ] имеем график “выпуклый вниз”

(28)

при f `` (x) < 0 на [ a,b ] имеем график “выпуклый вверх”

Граница между интервалами выпуклости и вогнутости наз. точкой перегиба. Необходимый признак точки перегиба: f ``(x)= 0. Обратное условие f ``(x₀) 0 означало бы, что х₀ и её окрестность лежат в области выпуклости или вогнутости. Однако, равенство f `` (x) = 0 может выполняться и вне точек перегиба.

Пр. y = x ⁴, y`` = 12 x ² = 0 при x = 0, но это точка min.