Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Исследование функции на экстремум



Зная производную функции f `(х), мы знаем скорость изменения функции во всех точках интервала [ a,b ]. Эта информация эффективно используется для общего описания свойств функции и её графика.

Монотонность.

Опр. Функция f (x) на интервале [ a,b ] монотонно возрастает, если при любых х > x 0 имеем f (x) > f (x 0) и монотонно убывает, если f (x) < f (x 0).

Теорема: Необходимым и достаточным условием возрастания (убывания) функция f (x) на интервале [ a,b ] служит неравенство

f ` (x) > 0 (f ` (x) < 0) для x [a,b]. (25)

Док – во необходимости: Для возрастающей функции справедливо неравенство > 0. Переход к пределу дает производную

= f ` (x) > 0

Док – во достаточности: Пусть х 1, х 2 [ a,b ] и х 1 < х 2. Применим формулу Лагранжа (22) для интервала [ х 1, х 2]: f (х 2) – f(х 1) = f ` (c)(х 2 - х 1). Если f ` (x) > 0 на (х 1, х 2), то f `(c) > 0 и f (х 2) – f(х 1) > 0 Þ f (х 2) > f(х 1), т.е. f (x) на (х 1, х 2) возрастает.

Экстремумы.

Опр. Точка х 0 наз. точкой MIN функции f (x), если существует такая - окрестность (х 0, х 0 + ) этой точки, что для всех х х 0 из этой - окрестности выполняется неравенство f (x) > f (x 0).

Аналогично определяется точка MAX неравенством f (x) < f (x 0). Любое смещение из этих точек в ближайшую окрестность приводит к увеличению (уменьшению) значения функции. Точки МАХ и МIN наз. экстремальными точками.





Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 221 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.005 с)...