Исследование функции на экстремум

Зная производную функции f `(х), мы знаем скорость изменения функции во всех точках интервала [ a,b ]. Эта информация эффективно используется для общего описания свойств функции и её графика.

Монотонность.

Опр. Функция f (x) на интервале [ a,b ] монотонно возрастает, если при любых х > x ₀ имеем f (x) > f (x ₀) и монотонно убывает, если f (x) < f (x ₀).

Теорема: Необходимым и достаточным условием возрастания (убывания) функция f (x) на интервале [ a,b ] служит неравенство

f ` (x) > 0 (f ` (x) < 0) для x [a,b]. (25)

Док – во необходимости: Для возрастающей функции справедливо неравенство > 0. Переход к пределу дает производную

= f ` (x) > 0

Док – во достаточности: Пусть х ₁, х ₂ [ a,b ] и х ₁ < х ₂. Применим формулу Лагранжа (22) для интервала [ х ₁, х ₂]: f (х ₂) – f(х ₁) = f ` (c)(х <sub>2</sub> - х <sub>1</sub>). Если f ` (x) > 0 на (х ₁, х ₂), то f `(c) > 0 и f (х ₂) – f(х ₁) > 0 Þ f (х ₂) > f(х ₁), т.е. f (x) на (х _1, х ₂) возрастает.

Экстремумы.

Опр. Точка х ₀ наз. точкой MIN функции f (x), если существует такая - окрестность (х ₀ – , х ₀ + ) этой точки, что для всех х х ₀ из этой - окрестности выполняется неравенство f (x) > f (x ₀).

Аналогично определяется точка MAX неравенством f (x) < f (x ₀). Любое смещение из этих точек в ближайшую окрестность приводит к увеличению (уменьшению) значения функции. Точки МАХ и МIN наз. экстремальными точками.