 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Теоремы о пределах
|
|
Вычисление пределов функций основывается на следующих теоремах:
1. Предел постоянной равен самой постоянной.
Док-во. Рассмотрим предел разности между функцией f (x) = c и константой сlim(f (x) – c) = 0. Т.к. предел равен 0 при любом значении х, то lim c = c при x 
R.
2. Для того чтобы lim f (x) = b при х 
а, необходимо и достаточно выполнение равенства f (x) = b + 
(x), где (x)- б.м.в. при х а.
Док-во. Необходимость:
lim f (x) = b 
lim [ f (x) – b ] = 0 = lim (x) f (x) – b = (x) f (x) = b + (x)
Достаточность: По определению предела, для х а должно выполняться неравенство |f (x) – b| < 
, где > 0, и оно выполняется | b + (x) – b | = | ( x )| < , т.к. б.м.в. ( х ) делается меньше любого наперед заданного числа
3. Предел суммы конечного числа функций, имеющих пределы при х а, равен сумме их пределов.
Док-во. Пусть lim f 1(x) = b 1, lim f 2(x) = b2 при х а. Сумму двух функций в окрестности точки а согласно Т.2 представим в виде
f 1(x) + f 2(x) = (b 1 + 
1(x)) + (b2 + 2(x)) = b 1 + b 2 + (x), где б.м.в. (х) = 1(x) + 2(x)согласно Л.1. Тогда lim[ f 1(x) + f 2(x) - b 1 - b 2] = = lim (x) = 0при х а и по определению
lim [ f 1(x) + f 2(x)] = b 1 + b 2 = lim f 1(x) + lim f 2(x).
х а х а х а
4. Предел произведения конечного числа функций, имеющих предел при х а равен произведению пределов.
Док-во. Произведение двух функций в окрестности точки а по Т.2 равно
f 1(x) f 2(x) = (b 1 + 1(x))(b2 + 2(x)) = b 1 b 2 + { b 1 2(x) + b 2 1(x) + 1(x) 2(x)},
где фигурные скобки есть б.м.в. (x) согласно Л.1 и Л.2. Поэтому
lim [ f 1(x) f 2(x) - b 1 b 2 ] = lim (x) = 0при х а и по определению
lim f 1(x) f 2(x) = b 1 b 2 = {lim f 1(x)} {lim f 2(x)}
х а х а х а
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
lim[ c f (x)] = c lim f (x)при х а
5. Предел отношения двух функций, имеющих пределы при х а, равен отношению их пределов (если предел знаменателя не нуль)
Док-во. Аналогичным образом получаем, что разность f 1(x)/ f 2(x) – b 1/ b 2 есть б.м.в. и переход к пределу по этой разности дает
lim f 1(x)/ f 2(x) = b 1 / b 2= lim f 1(x) / lim f 2(x)
x а х а х а
6. Всякая монотонно возрастающая (убывающая) и ограниченная в окрестности точки а функция y = f (x)имеет в этой точке конечный предел
Следствие: Поскольку основные элементарные функции являются кусочно-монотонными и ограниченными за исключением отдельных точек, то во всех точках области определения этих функций существует конечный предел, а в особых точках предел равен бесконечности. (!!!)
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 352 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
