Бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно больших функций и связь с бесконечно малыми функциями

В разделе 4.4.3 мы определили функции ББ, положительные ББ, отрицательные ББ и ввели обозначения: , , . Напомним одно из них.

Опр.4.4.8. f (x)®¥ при х ® а (х ® а +0, х ® а -0, х ®¥, х ®+¥, х ®-¥) Û Û .

Теор. 4.4.11.1 о связи ББ и БМ функций. Пусть функции F (x) и j(x) связаны соотношением F (x)= . F (x) - ББ тогда и только тогда, когда j(x) -БМ.

Док-во. Необходимость. Пусть F (x) - ББ, докажем, что - БМ. Возьмём "e>0. По определению ББ, для М =1/e $d: 0<| x - a |<dÞ| F (x) |> М. Тогда , т.е. j(x) удовлетворяет определению БМ.

Достаточность доказывается аналогично необходимости.

Итак, связь между ББ и БМ функциями достаточно простая. Поэтому кратко перечислим факты, относящиеся к сравнению ББ функций и аналогичные определениям и теоремам для БМ.

Опр. 4.4.11.1. Если - конечное число, отличное от нуля, то ББ функции F (х) и G (х) называются бесконечно большими одного порядка роста при х ® а.

Опр. 4.4.11.2. Если =0, то ББ G (х) называется бесконечно большой более высокого порядка по сравнению с F (х) (F (х) называется бесконечно большой низшего порядка по сравнению с G (х)). Обозначение: F (x) = o(G (x)).

Опр. 4.4.11.3. Если =1, то ББ G (х) и F (х) называются эквивалентными.

Теор. 4.4.11.2. (Необходимое и достаточное условие эквивалентности ББ). Для того, чтобы ББ функции F (х) и G (х) были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие F (х) - G (х) = о(F (х)) (или F (х) - G (х) = о(G (х)).