Односторонние пределы функции

Опр.4.4.4. Число b называется пределом функции f (x) при х ® а справа (или правым, правосторонним пределом), если для любого числа e>0 существует такое число d, что если х Î Х удовлетворяет неравенству a < x < а +d, то | f (x)- b |<e.

Обозначения: ; f (x)® b при x ® а +0; ; f (а +0).

Опр.4.4.5. Число b называется пределом функции f (x) при х ® а слева (или левым, левосторонним пределом), если для любого числа e>0 существует такое число d, что если х Î Х удовлетворяет неравенству a -d < x < а, то | f (x)- b |<e.

Обозначения: ; f (x)® b при x ® а -0; ; f (а -0).

Односторонние пределы на бесконечности:

Опр.4.4.6. Число b называется пределом функции f (x) при х ®+µ, если для любого числа e>0 существует такое число K, что если х Î Х удовлетворяет неравенству x > K, то | f (x)- b |<e.

Обозначения: ; f (+µ).

Опр.4.4.7. Число b называется пределом функции f (x) при х ®-µ, если для любого числа e>0 существует такое число K, что если х Î Х удовлетворяет неравенству x < K, то | f (x)- b |<e.

Обозначения: ; f (-µ).

. Для примера рассмотрим функцию

В точке х =0 эта функция не определена; найдём односторонние пределы при х ®±0. При х ®+0 (т.е. справа) (-1/ х) ®-µ, е(-1/ х)®0, f (x) ®2+3/4=11/4. При х ®-0 (т.е. слева) (-1/ х) ®+µ, е(-1/ х)® +µ, 3/(4+ е(-1/ х)) ®0, f (x) ®2. Таким образом

Найдем пределы этой функции при х ®±µ. И при х ®-µ, и при х ®+µ получим (-1/ х) ®0, е^{(-1/ х)}®1, f (x) ®2+3/5=13/5.

Связь между пределом функции и односторонними пределами устанавливает

Теор. 4.4.1. Для того, чтобы существовал (или ), необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны односторонние пределы.

Док-во. Необходимость. Пусть $ . Для "e>0 $d: 0<| x - a |<d Þ| f (x)- b |<e. Но тогда | f (x)- b |<e и при 0< x - a <d(Þ0< x < a +d), и при -d< x - a <0(Þ a -d< x <0), т.е. выполняются условия определений , , следовательно, оба односторонние предела существуют и равны между собой.

Достаточность. Пусть $ , $ . Возьмём "e>0. Первый предел обеспечивает существование d₁: a < x < a +d₁Þ| f (x)- b |<e. Аналогично второй предел обеспечивает существование d₂: a -d₂< x <0Þ| f (x)- b |<e. Выберем d<min{d₁, d₂}. Тогда при 0<| x - a |<d для x > a будет выполняться первое неравенство, для всех x < a - второе. В обоих случаях | f (x)- b |<e, т.е. $ , и этот предел равен числу b.

Задание 3. Самостоятельно сформулировать определение односторонних пределов на языке последовательностей. 4. Сформулировать условие отсутствия односторонних пределов.