Бесконечно большие функции

Опр.4.4.8. Функция f(x) называется бесконечно большой при х ® а, если .

Обозначение: .

Опр.4.4.9. Функция f(x) называется положительной бесконечно большой при х ® а, если .

Опр.4.4.9. Функция f(x) называется отрицательной бесконечно большой при х ® а, если .

Такие же определения даются для случаев х ® а +0, х ® а -0, х ®+¥, х ®-¥.

Пример: бесконечно большая при х ®0, положительная бесконечно большая при х ®+0, отрицательная бесконечно большая при х ®-0. Коротко эти свойства записываются с применением символики пределов так: , , . Тем не менее, когда мы в дальнейшем будем говорить "пусть f (x) имеет предел при ", всегда будем предполагать, что этот предел конечен (противный случай будет специально подчёркиваться).

Если функция бесконечно большая, то она очевидно не ограничена. Но не всякая неограниченная функция - бесконечно большая. На графике справа изображена функция на отрезке [0.01, 0.1]. Эта функция неограничена на полуинтервале (0,1] (знаменатель ®0), но в любой окрестности точки 0 имеются точки, в которых f (x)=0, т.е. f (x) не бесконечно большая.

Для бесконечно больших функций будем применять аббревиатуру ББ.

Задание. 6. Самостоятельно перебрать все возможные варианты определений ББ (положительных ББ, отрицательных ББ) при х ® а +0, х ® а -0, х ®+¥ и т.д. Сформулировать эти определения на языке последовательностей.