Сравнение бесконечно малых функций

В предыдущем разделе введены определения, описывающие поведение при х ® а произвольных функций. Здесь мы уточним эти определения для случая бесконечно малых функций. Поведение БМ функций сравнивается, если существует конечный или бесконечный предел их отношения. Итак, пусть a(х)®0, b(х)®0 при х ® а и пусть $ .

Опр. 4.4.9.1. Если - конечное число, отличное от нуля, то БМ функции a(х) и b(х) называются бесконечно малыми одного порядка.

Опр. 4.4.9.2. Если =0, то БМ a(х) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с b(х) (b(х) называется бесконечно малой низшего порядка по сравнению с a(х)). Обозначение: a(х) = о(a(х)).

Опр. 4.4.9.3. Если =1, то БМ a(х) и b(х) называются эквивалентными. Обозначение: a(х)~b(х); если a(х)~b(х), то b(х)~a(х).

Эквивалентные БМ интенсивно используются и в теории, и при решении задач, поэтому докажем два утверждения об этих величинах.

Теор. 4.4.9.1. (Необходимое и достаточное условие эквивалентности БМ). Для того, чтобы БМ функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была БМ функцией высшего порядка по сравнению с каждой из них.

Док-во. Необходимость. a(х)~b(х)Û =1Û 0Û . Достаточность. Û Û =1.

Теор. 4.4.9.2 о замене бесконечно малых на эквивалентные.

Пусть a(х)~ a₁(х), b(х)~b₁(х) - БМ функции. Тогда .

Док-во.

.

Опр. 4.4.9.4. Если при некотором k>0, то БМ a(х) называется БМ

k-го порядка малости по сравнению с b(х).

Если a(х) - БМ к-го порядка по сравнению с b(х), то a(х)~C[b(х)]^kÞa(х)=C[b(х)]^k+o(a(x)), т.е. функция C[b(х)]^k - главная часть функции a(х). В этом случае также a(х)=C[b(х)]^k+o([b(х)]^k).

При решении задач часто применяется следующее очевидное

Утверждение. Сумма конечного числа БМ функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Здесь мы с помощью рассмотренных в 4.4.7 пределов составим таблицу эквивалентных БМ функций и выпишем следующие из них выражения для главных частей (они подчёркнуты).

Эквивалентность при х ®0	Главная часть при х ®0
1. sin x ~ x	1. sin x = x +o(x)
2. 1 - cos x ~ x 2/2	2. 1 - cos x = x 2/2 +o(x 2)Þcos x = 1- x 2/2+o(x 2)
3. tg x ~ x	3. tg x = x +o(x)
4. arcsin x ~ x	4. arcsin x = x +o(x)
5. arctg x ~ x	5. arctg x = x +o(x)
6. ax -1 ~ x ln a; ex -1 ~ x	6. ax –1 = x ln a +o(x)Þ ax = 1+ x ln a +o(x) ex –1 = x +o(x))Þ ex = 1+ x +o(x)
7. log a (1+ x) ~ x log a e; ln(1+ x) ~ x	7. log a (1+ x) = x log a e +o(x); ln(1+ x) = x +o(x)
8. (1+ x) a -1 ~ ax	8. (1+ x) a - 1 = a x +o(x)Þ (1+ x) a =1 + a x +o(x)
9. sh x ~ x	9. sh x = x +o(x)
10. ch x - 1 ~ x 2/2	10. ch x - 1= x 2/2 +o(x 2)Þ ch x = 1 + x 2/2+o(x 2)