 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Замечательные пределы
|
|
4.4.7.1. Первый замечательный предел. Так принято называть 
. Докажем, что он равен единице. 1. Докажем, что sin| x |£.| x | (достаточно доказать это при х >0). Рассмотрим круг радиуса 1 с центром в точке О. В качестве переменной х будем брать центральный угол, отсчитываемый в радианах от радиуса ОА. Тогда длина дуги АВ = х, длина отрезка ВD =sin х, sin х < х (при х ¹0; перпендикуляр - кратчайшее расстояние от точки до прямой). 2. Сравним площади треугольников OBА, OCA и сектора OBA: S(тр. OBА)<S(сек. OBA)<S(тр. OCA). Выразим эти площади: 
(CA =tg x). Делим это выражение на 
: 
. Мы получили эти неравенства в предположении х >0, но вследствие четности входящих в них выражений они верны при любом знаке х. 3. Переворачиваем эти неравенства: 
. cos x ®1 при х ®0, предел правой части тоже равен 1, по теор. 3.4.5 о пределе промежуточной функции $ 
.
Следствия: 
.
4.4.7.2. Второй замечательный предел. Изучая пределы последовательностей, мы доказали, что $ 
. Распространим это доказательство на случай действительной переменной, докажем, что 
. Пусть n = E (x), тогда n £ x < n +1. Если x ®+¥, то и n ®¥, поэтому можем считать n >1. Из неравенства 
вследствие монотонного возрастания степенной функции с аргументом и степенью >1, получим 
. Предел правого члена при n ®¥ равен числу е, предел левого 
тоже равен числу е. По теор. 4.4.6 о пределе промежуточной функции $ 
, и он тоже равен числу е. Далее, 
, и снова применяя теор. 4.4.6 о пределе промежуточной функции, получаем, что 
существует и равен числу е.
Пусть теперь x ®-¥. Введём новую переменную y =- x -1,тогда x =- y -1, и y ®+¥ при x ®-¥. 
. Доказано, что односторонние пределы при x ®±¥ существуют и равныÞ(по теор. 4.4.1) $ 
.
4.4.7.2.1. Эквивалентная форма второго замечательного предела: 
(сводится к предыдущему случаю заменой 
).
4.4.7.3. Следствия из замечательных пределов. Рассмотрим еще несколько важных пределов.
4.4.7.3.1. 
. Док-во: 
.
4.4.7.3.2. 
. Док-во: 
. (Здесь мы пользуемся непрерывностью функции 
.) Следствие: 4.4.7.3.2.1. 
.
4.4.7.3.3. 
. Док-во: заменим переменную 
.
Следствие: 4.4.7.3.3.1. 
.
4.4.7.3.4. 
. Док-во: заменим переменную 
.
4.4.7.3.5. 
4.4.7.3.6. 
4.4.8. Сравнение поведения функций при х®а. Главная часть функции.
Здесь мы определим символику, которая применяется в математической и технической литературе для сравнительного описания поведения функций вблизи предельной точки.
Определения. 4.4.8.1. f (x)~ g (x) (f (x) эквивалентна g (x)) при х ® а, если f (x)= s (x) g (x), где s (x)®1 при х ® а. Если g (x)¹0 в окрестности точки а, то f (x)~ g (x), если 
=1.
В остальных определениях мы не будем писать х ® а, но это везде подразумевается. Всё, что будет рассматриваться, верно и в случаях х ® а -0, х ® а +0 и т.д. В скобках будут даваться равносильные определения для случая, когда g (x)¹0 в окрестности точки а.
4.4.8.2. f (x)=О(g (x)) (О большое от g (x)), если f (x)= s (x) g (x), где s (x) ограничена в некоторой окрестности точки а. (f (x)=О(g (x)), если отношение f (x)/ g (x) ограничено в окрестности точки а.)
4.4.8.3. f (x)=о(g (x)) (О малое от g (x)), если f (x)= a(x) g (x), где a(x) - БМ функция. (
.)
4.4.8.4. f (x)=О(1) - функция, ограниченная в некоторой проколотой окрестности точки а.
4.4.8.5. f (x)=о(1) - БМ функция (f (x) ®0 при х ® а.)
Перечислим ряд очевидных свойств введённых отношений (обязательно осмыслить!).
4.4.8.1. Если f (x)~ g (x), то g (x)~ f (x).
4.4.8.2. Если f (x)~ g (x), g (x)~ h (x), то f (x)~ h (x).
4.4.8.3. Если f (x)~ g (x), h (x)~ s (x), то f (x) h (x)~ g (x) s (x).
4.4.8.4. Если 
, то f (x)~ L.
4.4.8.5. Если f (x)=o(g (x)), то f (x)=O(g (x)).
4.4.8.6. Если f (x)~ g (x), то o(f (x))=o(g (x)).
4.4.8.7. O(O(f (x)))= O(f (x)); O(o(f (x)))= o(O(f (x)))= o(f (x)); o(o(f (x)))= o(f (x)).
4.4.8.8. g (x)(O(f (x)))= O(g (x) f (x)); g (x)(o(f (x)))= o(g (x) f (x)).
4.4.8.9. O(f (x)) O(f (x))= O(f 2 (x)); O(f (x)) o(f (x))= o(f 2 (x)); o(f (x)) o(f (x))= o(f 2 (x)).
4.4.8.10. O(f (x))+O(f (x))= O(f (x)); O(f (x))+o(f (x))= O(f (x)); o(f (x))+o(f (x))= o(f (x)).
4.4.8.11. Из этих свойств и теоремы 4.4.10.2 о пределе разности функций следует:
f (x)~ g (x)Û f (x)- g (x)=о(f (x)); f (x)~ g (x)Û f (x)- g (x)=о(g (x)).
Условие f (x)~ g (x)Û f (x)- g (x)=о(g (x)) можно записать так: f (x)~ g (x)Û f (x)= g (x)+о(g (x)).
Опр. 4.4.8.6. Если функцию f (x) можно представить в виде f (x)= g (x)+о(g (x)), то функция g (x) называется главной частью функции f (x).
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 311 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
