Арифметические действия с пределами

Теорема 4.4.10. Пусть функции f (x), g (x) имеют предел при х ® a, С=const. Тогда имеют пределы функции С f (x), f (x)± g (x), f (x) g (x), (если ), и

4.4.10.1. ;

4.4.10.2. ;

4.4.10.3. ;

4.4.10.4. .

Док-во основано на теор. 4.4.9 о связи функции с её пределом. Пусть , Þ f (x)= b ₁+a(х), g (x)= b ₂+b(х), где a(х), b(х) - БМ. Тогда:

4.4.10.1. С f (x)=С b ₁+Сa(х); Сa(х) - БМ по теор. 4.4.7 Þ$ .

4.4.10.2. ; a(х)±b(х) - БМÞ

$ .

4.4.10.3. . Выражение в квадратных скобках - БМ (теор. 4.4.3, 4.4.7, 4.4.8) Þ$ .

4.4.10.4. Оценим : . В числителе стоит БМ, функция - ограничена при (почему?) Þ$ .

С двумя функциями можно произвести ещё следующие действия: возвести f (x) в степень g (x) и взять их суперпозицию. Для степени f (x) ^{g ( x )} оказывается, что если существуют конечные , , то существует , это следствие непрерывности показательной и логарифмической функций; и этот вопрос будет рассмотрен ниже. Для суперпозиции функций оказывается, что существование пределов внешней и внутренней функций недостаточно для существования предела сложной функции. Более точно, если х = g (t) имеет предел а при t ® t₀, функция y = f (x) имеет предел при x ® а, то может не существовать. Пример: пусть . Очевидно, $ . Пусть . $ . Для последовательности точек ; если выбрать последовательность , не попадающую в эти точки, то . Две последовательности дают разные пределыÞ не существует. Дальше мы увидим, что существование предела сложной функции обеспечивает непрерывность внешней функции.