Свойства функций, имеющих предел

Теор. 4.4.2 (о единственности предела). Если функция имеет предел при х ® а, то этот предел единственен.

Док-во от противного. Пустьфункция имеет два предела при х ® а: b ₁ и b ₂, b ₁¹ b ₂, пусть b ₂> b ₁. Возьмём e<(b ₂- b ₁ )/2. $d₁: 0<| x - a |<d₁ Þ| f (x)- b ₁ |<eÛ-e< f (x)- b ₁<eÛ b ₁-e< f (x)< b ₁+eÞ f (x)< b ₁+e< b ₁+(b ₂- b ₁ )/2=(b ₁+ b ₂ )/2. Аналогично $d₂: 0<| x - a |<d₂ Þ| f (x)- b ₂ |<eÛ-e< f (x)- b ₂<eÛ b ₂-e< f (x)< b ₂+eÞ f (x)> b ₂-e> b ₂-(b ₂- b ₁ )/2=(b ₁+ b ₂ )/2. Таким образом, при

0<| x - a |<min{d₁,d₂}должно быть одновременно f (x)< (b ₁+ b ₂ )/2 и f (x)> (b ₁+ b ₂ )/2, что невозможно - получено противоречие.

Теор. 4.4.3 (о локальной ограниченности функции, имеющей предел). Если функция имеет предел b при х ® а, то она ограничена в некоторой окрестности точки а.

Док-во. Возьмём e=1. $d: 0<| x - a |<d Þ| f (x)- b |<1Þ -1< f (x)- b <1Þ b -1< f (x)< b +1Þв d-окрестности точки аf (x) ограничена сверху и снизу Þона в этой окрестности ограничена.

Теор. 4.4.4 (о сохранении функцией знака предела). Если функция имеет предел b при х ® а, и число b >0 (либо b <0), то существует окрестность точки а, в которой f (x)>0 (либо f (x)<0).

Док-во. Рассмотрим для определённости случай b >0. Возьмём e= b /2. $d: 0<| x - a |<d Þ| f (x)- b |< b /2Þ - b /2< f (x)- b < b /2Þ b - b /2< f (x)< b + b /2Þ f (x)> b /2>0, что и требовалось доказать.

Очевидные следствия: 1. Если b > B, то f (x)> B в некоторой окрестности предельной точки; 2. Если f (x)>0 в некоторой окрестности предельной точки, то не может быть b <0.

Теор. 4.4.5 (о переходе к пределу в неравенстве). Если в некоторой окрестности точки а функции f (x), g (x) удовлетворяют неравенству f (x)£ g (x) и имеют пределы при х ® а, то и их пределы удовлетворяют неравенству .

(Напомним, что когда мы говорим о некоторых свойствах функций, имеющих предел, в окрестности предельной точки, то подразумеваем, что эти свойства выполняются во всех точках этой окрестности, за исключением, возможно, самой предельной точки. Значение функции в предельной точке никак не участвует в определении предела и вообще может не существовать).

Док-во от противного. Пусть , , и пусть b ₁< b ₂. Возьмём

e<(b ₂- b ₁ )/2. $d₂: 0<| x - a |<d₂ Þ| f (x)- b ₂ |<eÛ-e< f (x)- b ₂<eÛ b ₂-e< f (x)< b ₂+eÞ f (x)> b ₂-e> b ₂-(b ₂- b ₁ )/2=(b ₁+ b ₂ )/2. Аналогично $d₁: 0<| x - a |<d₁ Þ| g (x)- b ₁ |<eÛ- e< g (x)- b ₁<eÛ b ₁-e< g (x)< b ₁+eÞ g (x)< b ₁+e< b ₁+(b ₂- b ₁ )/2=(b ₁+ b ₂ )/2. Таким образом, при 0<| x - a |<min{d₁,d₂}должно быть f (x)> (b ₁+ b ₂ )/2, g (x)< (b ₁+ b ₂ )/2 что противоречит условию f (x)£ g (x).

Теор. 4.4.6 (о пределе промежуточной функции). Если в некоторой окрестности точки а функции f (x), g (x), h (x) удовлетворяют неравенству f (x)£ g (x) £ h (x), функции f (x), h (x) имеют пределы при х ® а, и эти пределы равны: , то и функция g (x) имеет предел при х ® а, и этот предел тоже равен числу b.

Док-во. $d₁: 0<| x - a |<d₁ Þ| f (x)- b |<eÛ -e< f (x)- b <eÛ b -e< f (x)< b +eÞ f (x)> b -e. $d₂:

0<| x - a |<d₂ Þ| h (x)- b ₂ |<eÛ -e< h (x)- b <eÛ b -e< h (x)< b +eÞ h (x)< b+ e. Таким образом, при

0<| x - a |<min{d₁,d₂}=d будет b -e< f (x)£ g (x) £ h (x) < b+ eÞ| h (x)- b |<e, т.е. g (x) имеет предел, равный числу b.

Задание. Утверждения этого раздела сформулированы для случая х ® а. Самостоятельно сформулировать и доказать их для других случаев (односторонних пределов, пределов на бесконечности).