Свойства сходящейся последовательности

Сформулируем и докажем ряд свойств сходящейся последовательности (т.е. последовательности, имеющей предел).

4.3.2.1. Если последовательность постоянна (т.е. а_n =const=C для " n), то она имеет предел, и этот предел равен числу С.

Док-во. Неравенство | а_n -C |=0<e выполняется для " n,"e, т.е. выполняются условия определения предела.

4.3.2. 2. Последовательность может иметь только один предел.

Док-во. От противного: предположим, что последовательность имеет два предела: и . Предположим для определённости, что b > a. Возьмём в качестве e любое число, меньшее, чем (b - a)/2. Так как , то, по определению предела последовательности, $ N ₁: n > N ₁ Þ a -e< a_n < a +e< a +(b - a)/2=(a + b)/2. Так как , то $ N ₂: n > N ₂ Þ(a + b)/2= b -(b - a)/2< b -e< a_n < b +e. Возьмём N =max{ N ₁, N ₂}. Тогда при n > N одновременно должны выполняться неравенства a_n < (a + b)/2 и a_n > (a + b)/2, что невозможно.

4.3.2.3. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Док-во. Пусть $ . Возьмём e=1. $ N: n > N Þ a -1< a_n < a +1. Итак, все члены последовательности, начиная с N +1, ограничены снизу числом a -1, сверху - числом a +1. Вне окрестности U ₁(a) точки a может лежать не более N членов. Возьмём в качестве нижней границы число М ₁=min{ a₁, a₂, a₃,…, a_N, a -1}, в качестве верхней границы число М ₂=max{ a₁, a₂, a₃,…, a_N, a +1}. Тогда М ₁ a_n М ₂, т.е. последовательность действительно ограничена.

Обратное утверждение неверно. Последовательность ограничена: 1 a_n <2, но предела не имеет (подпоследовательность членов с нечётными индексами сходится к числу 1, с чётными - к числу 2, последовательность в целом предела не имеет). Однако если мы дополнительно потребуем, чтобы последовательность была монотонной, то существование предела будет обеспечено:

4.3.2.4. Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она сходится (т.е. имеет предел).

Док-во. Так как множество чисел ограничено сверху, оно имеет точную верхнюю грань . По свойствам точной верхней грани 1. a_n a; 2. для "e>0 существует элемент множества a_N такой, что a_N > a -e. Если n > N, то a -e< a_N a_n (вследствие монотонного возрастания) a < a +e. Итак, для "e>0 мы нашли такое N, что при n > N имеет место a -e< a_n < a +e, т.е. доказали, что $ .

4.3.2.5. Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится.

Приведём без доказательства ещё один факт, касающийся ограниченных последовательностей:

4.3.2.6. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Опр. 4.3.3. Последовательность называется фундаментальной, если она удовлетворяет следующему условию: для "e>0 существует число N такое, что для любых n₁, n₂ > N выполняется неравенство | a_n1 - a_n2 |<e.

4.3.2.7. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Док-во. Необходимость. Пусть последовательность сходится, и её предел равен a. Возьмём "e>0. $ N: n > N Þ| a - a_n |< . Возьмём любые n₁, n₂ > N. Тогда и | a - a_n1 |< , и

| a - a_n2 |< . Оценим | a_n1 - a_n2 |: | a_n1 - a_n2 |=| a_n1 - a+a - a_n2 |=| (a_n1 - a)-(a _n2 - a)| | a_n1 - a | +

+ | a _n2 - a |< + =e Þ последовательность фундаментальна.

Достаточность строго доказывать не будем, приведём идею доказательства. Если последовательность фундаментальна, то она ограничена (доказывается аналогично свойству 4.3.2.3), следовательно из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу a. Далее показывается, что это число будет пределом всей последовательности .

Далее будет сформулирован ряд свойств, касающихся арифметических действий с последовательностями и пределами. Эти свойства легко доказываются с применением бесконечно малых величин; мы докажем эти свойства позже, когда будем изучать пределы функций. Для функций также будет доказан ряд других свойств, справедливых и для последовательностей (теоремы о сохранении знака предела, о переходе к пределу в неравенстве и т.д.; см. пункт 4.4.4. Свойства функций, имеющих предел). Если даны последовательности , , то символом будем обозначать последовательность, получающуюся из умножением всех её членов на постоянную величину С=const. Символами будем обозначать последовательности, получающиеся из , , соответственно, почленным сложением, умножением, делением исходных последовательностей. Тогда:

4.3.2.8. Если последовательность сходится, то сходится последовательность , и

=С (постоянный множитель можно выносить за знак предела);

4.3.2.9. Если последовательности , сходятся, то сходятся и последовательности , и

4.3.2.10. (предел суммы последовательностей равен сумме пределов);

4.3.2.11. (предел произведения последовательностей равен произведению пределов);

4.3.2.12. (предел частного последовательностей равен частному их пределов (при условии, что предел знаменателя отличен от 0)).

4.3.3. Число е.

Здесь мы докажем существование числа, играющего исключительную роль в природе и математике - числа е. Это число определяется как .

Утв. 1. Последовательность возрастает с ростом n.

Док-во. По формуле бинома Ньютона

Эта сумма содержит ровно n +1 член. Если перейти от n к n +1, то количество слагаемых увеличится на 1 и каждое слагаемое возрастётÞ a_{n +1}> a_n.

Утв. 2. Последовательность ограничена.

Док-во. Оценим величину сверху. Каждое слагаемое в полученной сумме оценивается величиной . Тогда вся сумма

Итак, последовательность возрастает и ограниченаÞона имеет предел. Этот предел и определяет число е, , зашитое во все природные явления столь же фундаментально, как и число p.

4.4. Предел функции одной переменной.