Числовые ряды. Пусть задана бесконечная последовательность чисел

Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Выражение

(97)

называется числовым рядом. Числа называются членами этого ряда. Член ряда (97), стоящий на -м месте, считая от начала, называется общим членом этого ряда. Ряд (97) считается заданным, если известен общий член его, выраженный как функция номера .

Выражение (97) удобно обозначать следующим образом: .

Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n -ой частичной суммой ряда.

Рассмотрим частичные суммы:

Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда (97) и говорят, что ряд (97) сходится.

Если не существует (например , при ), то говорят, что ряд (97) расходится и суммы не имеет.

Пример 7.1.1. Определить сходимость числового ряда

. (98)

Решение. Данный числовой ряд – сумма всех членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем Вычисляя сумму первых чисел, получаем:

или .

Переходя к вычислению предела, заметим, что в зависимости от значений и частичная сумма ряда принимает различные значения.

1). Если , то при . Значит, в случае ряд (98) сходится и его сумма .

2). Если , то и тогда при , т.е. не существует. Таким образом, в случае ряд (98) расходится.

3) Если , то ряд (98) имеет вид: . В этом случае , т.е. ряд расходится.

Если то . В этом случае:

Следовательно, частичная сумма предела не имеет.

Таким образом, сумма членов геометрической прогрессии (с первым членом отличным от нуля) сходится только тогда, когда знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы. ►

Теорема. Если сходится ряд, получившийся из данного ряда (97) отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких членов.

Теорема. Если ряд (97) сходится и его сумма равная S, то ряд

(99)

где – произвольное действительное число, так же сходится и его сумма равна .