Ответ №35

Основные понятия и определение определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим произвольную функцию , которая определена и непрерывна на отрезке . Разобъем отрезок на частей (не обязательно равных) точками

которые не совпадают. Получаем, что отрезок есть объединение полуинтервалов открытых справа , и отрезка , т.е.

(эти полуинтервалы и отрезок будем называть множествами).

Возьмем из каждого множества произвольную точку и составим следующую сумму:

где -- длина (мера) полуинтервала (множества ).

Определение. Предел от суммы при , если он существует и конечен, называется определенным интегралом от функции в пределах от до и обозначается:

Если существует определенный интеграл от функции , то в этом случае функция называется интегрируемой на отрезке .

Для интегрируемости функции на отрезке достаточно, чтобы она была непрерывна на нем или имела конечное число точек конечных разрывов.

Если функция непрерывна на , то от нее существует неопределенный интеграл

и имеет место формула

т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах.

Формула

называется формулой Ньютона-Лейбница.

На практике для вычисления площадей, объемов фигур, заданных функциями, применяетсяопределенный интеграл.