Ответ №36

Вычисление площадей

Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, образованную осью , прямыми , и кривой .

Требуется найти площадь данной криволинейной трапеции. Покажем, что эта задача эквивалентна нахождению определенного интеграла.

Разобъем отрезок на частей точками

Получаем, что отрезок есть объединение полуинтервалов открытых слева , и отрезка , т.е.

(эти полуинтервалы и отрезок будем называть множествами).

Возьмем из каждого множества произвольную точку и составим следующую сумму:

где -- длина (мера) множества (полуинтервала).

Величина -- это сумма площадей прямоугольников со сторонами и , . При стремлении к нулю сумма будет стремиться к значениюопределенного интеграла

Получаем, что площадь криволинейной трапеции есть

Рассмотрим случай задания кривой параметрическим образом, т.е.

где параметр . Тогда площадь вычисляется через определенный интеграл:

Аналогично можно рассмотреть случай, когда криволинейная трапеция прилежит к оси , т.е. криволинейная трапеция ограничена линиями , , осью и кривой . В этом случае площадь вычисляется через интеграл:

Вычисление объема тела вращения

Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, образованную прямыми , , осью и функцией .

Требуется найти объем тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси .

Объем данного тела вычисляется по формуле, содержащей определенный интеграл:

Если криволинейная трапеция прилежит к оси (прямые , , ось и функция ), тогда объем тела также определяется по формуле, содержащей интеграл: