Ответ №34

1. Линейность. Если функции y = f (x), y = g (x) интегрируемы по отрезку [ a, b ], то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация A f (x) + B g (x) (A, B = const), и
.
Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек выполняется . Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства.
2. Аддитивность. Если y = f (x) интегрируема по отрезку [ a, b ] и точка c принадлежит этому отрезку, то .
Док-во. Если f (x) удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку [ a, b ], то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам [ a, c ] и [ c, b ]. Будем брать такие разбиения отрезка [ a, b ], чтобы точка c являлась одним из узлов x_i: c = x_i 0,. Тогда. В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для . Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и .
Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например, c < b < a, и f (x)интегрируема по [ c, a ]. Тогда, по доказанному, . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что .

«Теорема о среднем».

Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то существует тонка с є [а; b] такая, что

▼По формуле Ньютона-Лейбница имеем

где F'(x) = ƒ(х). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим

F(b)-F(a) = F'(c)•(b-а) = ƒ(с)•(b-а).▲

Свойство 5 («теорема о среднем») при ƒ (х) ≥ 0 имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором с є (а; b), площади прямоугольника с высотой ƒ (с) и основанием b- а (см. рис. 170). Число

называется средним значением функции ƒ(х) на отрезке [а; b].

6. Если функция ƒ (х) сохраняет знак на отрезке [а; b], где а < b, то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼По «теореме о среднем» (свойство 5)

где с є [а; b]. А так как ƒ(х) ≥ 0 для всех х  [а; b], то и

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Поэтому ƒ(с)•(b-а) ≥ 0, т. е. ▲