Ответ №28

Первообразная и неопределенный интеграл.

К понятию первообразной приводит следующая физическая задача: пусть точка движется прямолинейно, и в каждый момент времени известна скорость v (t). Найти путь s (t). Задача сводится к отысканию такой функции s (t), производная которой равна известной функции v (t), то есть возникает задача, обратная дифференцированию. Пусть y = f (t) определена на промежутке X.

Определение: Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на X, если " x Î X: F '(x) = f (x).

Примеры.

s (t) - первообразная для v (t).

F (x)=ln x - первообразная для функции f (x)= на (0, +¥). F (x)=ln(- x) - первообразная для функции f (x)= на (-¥,0).

F (x)=ln½ x ½- первообразная для функции f (x)= на (-¥,0) и (0, +¥).

f (x) =½ x ½= .

F (x) = .

Самостоятельно докажите, что F '(0) существует и равна 0.

f (x) =sgn x = .

F (x) = x - первообразная для f (x)=sgn x при x > 0.

F (x) = - x - первообразная для f (x)=sgn x при x < 0.

(рисунок)

f (x)=sgn x не имеет первообразной на всей числовой прямой.

//Замечание. Отметим, что если F (x) - первообразная для f (x) на X, то есть " x Î X: F '(x) = f (x), то F (x)+ C (C = const) - также первообразная для f (x) на X, так как " x Î X: (F (x)+ C)'= F '(x)+ C '= f (x).

Верно и обратное:

Теорема 5.1 (основная теорема интегрального исчисления). Если F₁ (x) и F₂ (x) - любые первообразные для f (x) на X, то F₁ (x)- F₂ (x)=const на X.

Доказательство.

Введем обозначение: F (x) = F₁ (x)- F₂ (x). Требуется доказать, что F (x) = const на X.

" x Î X: F' (x) = - = 0.

Таким образом, нужно доказать: если F' (x) = 0 " x Î X, то F (x)=const на X. Этот факт будет доказан позже, и тогда эта теорема будет доказана.

Следствие. Если F (x) - какая-то первообразная для f (x) на X, то любую другую первообразную F (x) можно представить в виде: F (x)= F (x)+ C, где C - некоторая постоянная.

Определение: Множество всех первообразных для функции f (x) на промежутке X называется неопределенным интегралом от этой функции на промежутке X и обозначается . f (x) называется подынтегральной функцией. f (x) dx называется подынтегральным выражением. Отметим, что подынтегральное выражение является дифференциалом любой первообразной функции f (x). В самом деле:

dF (x)= F' (x) dx = f (x) dx. (1)

В силу следствия из теоремы 5.1 справедлива формула:

= F (x)+ C, (2)

где F (x) - одна из первообразных для f (x), C - произвольная постоянная.

Пример.

=sin x + C.

Поставим вопрос: какие функции имеют первообразную? Позднее будет доказано, что любая непрерывная на промежутке X функция f (x) имеет первообразную на этом промежутке.

Основные свойства неопределенного интеграла.

= f (x) dx.

= F (x)+ C.

Свойства 1 и 2 следуют из равенств (1) и (2) параграфа 1.

= ± .

Доказательство.

Пусть F (x) - первообразная для f (x), а G (x) - первообразная для g (x). Тогда F '(x) = f (x), G' (x) = g (x), и также = F (x)+ C₁, = G (x)+ C₂. Сладывая и вычитая два последние равенства, получим:

± = [ F (x)± G (x)] +(С₁ ± С₂). (1)

С другой стороны, [ F (x)± G (x)]' = F' (x) ± G' (x) = f (x) ± g (x).

Поэтому = [ F (x)± G (x)] + С. (2)

Правые части в этих равенствах равны с точностью до определенной постоянной, следовательно, равны и левые части.

=> = ± .

Если k - число, то = k .

Доказать самостоятельно.

Таблица основных неопределенных интегралов.

1. = + C (a¹-1).

2. =ln½ x ½+ C (x ¹0).

3. =sin x + C.

4. =cos x + C.