![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Первообразная и неопределенный интеграл.
К понятию первообразной приводит следующая физическая задача: пусть точка движется прямолинейно, и в каждый момент времени известна скорость v (t). Найти путь s (t). Задача сводится к отысканию такой функции s (t), производная которой равна известной функции v (t), то есть возникает задача, обратная дифференцированию. Пусть y = f (t) определена на промежутке X.
Определение: Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на X, если " x Î X: F '(x) = f (x).
Примеры.
s (t) - первообразная для v (t).
F (x)=ln x - первообразная для функции f (x)= на (0, +¥). F (x)=ln(- x) - первообразная для функции f (x)=
на (-¥,0).
F (x)=ln½ x ½- первообразная для функции f (x)= на (-¥,0) и (0, +¥).
f (x) =½ x ½= .
F (x) = .
Самостоятельно докажите, что F '(0) существует и равна 0.
f (x) =sgn x = .
F (x) = x - первообразная для f (x)=sgn x при x > 0.
F (x) = - x - первообразная для f (x)=sgn x при x < 0.
(рисунок)
f (x)=sgn x не имеет первообразной на всей числовой прямой.
//Замечание. Отметим, что если F (x) - первообразная для f (x) на X, то есть " x Î X: F '(x) = f (x), то F (x)+ C (C = const) - также первообразная для f (x) на X, так как " x Î X: (F (x)+ C)'= F '(x)+ C '= f (x).
Верно и обратное:
Теорема 5.1 (основная теорема интегрального исчисления). Если F1 (x) и F2 (x) - любые первообразные для f (x) на X, то F1 (x)- F2 (x)=const на X.
Доказательство.
Введем обозначение: F (x) = F1 (x)- F2 (x). Требуется доказать, что F (x) = const на X.
" x Î X: F' (x) = -
= 0.
Таким образом, нужно доказать: если F' (x) = 0 " x Î X, то F (x)=const на X. Этот факт будет доказан позже, и тогда эта теорема будет доказана.
Следствие. Если F (x) - какая-то первообразная для f (x) на X, то любую другую первообразную F (x) можно представить в виде: F (x)= F (x)+ C, где C - некоторая постоянная.
Определение: Множество всех первообразных для функции f (x) на промежутке X называется неопределенным интегралом от этой функции на промежутке X и обозначается . f (x) называется подынтегральной функцией. f (x) dx называется подынтегральным выражением. Отметим, что подынтегральное выражение является дифференциалом любой первообразной функции f (x). В самом деле:
dF (x)= F' (x) dx = f (x) dx. (1)
В силу следствия из теоремы 5.1 справедлива формула:
= F (x)+ C, (2)
где F (x) - одна из первообразных для f (x), C - произвольная постоянная.
Пример.
=sin x + C.
Поставим вопрос: какие функции имеют первообразную? Позднее будет доказано, что любая непрерывная на промежутке X функция f (x) имеет первообразную на этом промежутке.
Основные свойства неопределенного интеграла.
= f (x) dx.
= F (x)+ C.
Свойства 1 и 2 следуют из равенств (1) и (2) параграфа 1.
=
±
.
Доказательство.
Пусть F (x) - первообразная для f (x), а G (x) - первообразная для g (x). Тогда F '(x) = f (x), G' (x) = g (x), и также = F (x)+ C1,
= G (x)+ C2. Сладывая и вычитая два последние равенства, получим:
±
= [ F (x)± G (x)] +(С1 ± С2). (1)
С другой стороны, [ F (x)± G (x)]' = F' (x) ± G' (x) = f (x) ± g (x).
Поэтому = [ F (x)± G (x)] + С. (2)
Правые части в этих равенствах равны с точностью до определенной постоянной, следовательно, равны и левые части.
=> =
±
.
Если k - число, то = k
.
Доказать самостоятельно.
Таблица основных неопределенных интегралов.
1. =
+ C (a¹-1).
2. =ln½ x ½+ C (x ¹0).
3. =sin x + C.
4. =cos x + C.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 217 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!