Ответ №38

Пусть функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [-а; а], симметричном относительно точки х = 0. Докажем, что

▼Разобьем отрезок интегрирования [-а; а] на части [-а; 0] и [0; а]. Тогда по свойству аддитивности

В первом интеграле сделаем подстановку х = -t. Тогда

(согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования»). Возвращаясь к равенству (39.4), получим

Если функция ƒ(х) четная (ƒ(-х) = ƒ(х)), то ƒ(-х) + ƒ(х) = 2ƒ(х); если функция ƒ(х) нечетная (ƒ(-х) = - ƒ(х)), то ƒ(-х) + ƒ(х) = 0. Следовательно, равенство (39.5) принимает вид (39.3).▲

Благодаря доказанной формуле можно, например, сразу, не производя вычислений, сказать, что