Ответ №30

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

для определённого:

Предполагается, что нахождение интеграла проще, чем . В противном случае применение метода неоправдано.

Для неопределённого интеграла

Функции и гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во времяинтегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

Отсюда «следствие»: , что очевидно неверно.

для определённого интеграла

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

Иногда этот метод применяется несколько раз:

Ответ №31 Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется выражение вида , где , –многочлены степеней n и m соответственно. Если , рациональная дробь называется правильной, в противном случае – неправильной. Если дробь неправильная, из нее можно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель. Таким образом, неправильную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции (многочлена) и правильной дроби: . Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов: , где A, B, C, a, p, q –числа,