![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Точки разрыва функции.
Определение:
Предельные точки области определения функции, в которых эта функция не является непрерывной, называются точками её разрыва.
Примеры:
1) f (x) = [ x ].
x = n (целое)-точка разрыва.
2) D (x) = (функция Дирихле).
D (x) имеет разрыва в каждой точке числовой прямой, так как " точки а D (x) не существует.
3) f (x) = x × D (x)
f (x) непрерывна в точке х = 0, так как f (x) = 0 = f (0).
f (x) разрывна во всех остальных точках, так как " а ¹ 0 f (x) не существует- (докажите самостоятельно).
Классификация точек разрыва.
1)Устранимый разрыв.
Точка а называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если $ f(x), но
f(x) ¹ f(a), либо в точке а функция f(x) вообще не определена.
Пример:
f(x) = . Будет доказано, что
= 1, но в точке х = 0 функция
не определена, тем самым х = 0 -точка устранимого разрыва этой функции.
Если положить f(x) = , то f(x) станет непрерывной в точке х = 0, то есть разрыв будет устранён.
2) Разрыв первого рода.
Точка а называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если $ f(x) и
f(x), но
f(x) ¹
f(x).
Пример:
f(x) = [x]
x = n (целое) - точки разрыва первого рода этой функции.
3) Разрыв второго рода.
Точка а называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке не существует хотя бы один из односторонних пределов.
Примеры:
1) f(x) = , х = 0 - точка разрыва второго рода, так как f(+0) = +¥, f(-0) = -¥.
2) Функция Дирихле D(x)-любая точка является точкой разрыва второго рода.
Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
В частности, f(x) непрерывна на сегменте [a, b] (a < b), если она непрерывна в каждой внутренней точке сегмента, непрерывна в точке а справа и в точке b слева.
Пример:
f(x) = непрерывна на любом сегменте, в точках которого
(х) не обращается в нуль.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 162 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!