Ответ №9

Точки разрыва функции.

Определение:
Предельные точки области определения функции, в которых эта функция не является непрерывной, называются точками её разрыва.

Примеры:

1) f (x) = [ x ].

x = n (целое)-точка разрыва.

2) D (x) = (функция Дирихле).

D (x) имеет разрыва в каждой точке числовой прямой, так как " точки а D (x) не существует.

3) f (x) = x × D (x)

f (x) непрерывна в точке х = 0, так как f (x) = 0 = f (0).

f (x) разрывна во всех остальных точках, так как " а ¹ 0 f (x) не существует- (докажите самостоятельно).

Классификация точек разрыва.

1)Устранимый разрыв.

Точка а называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если $ f(x), но

f(x) ¹ f(a), либо в точке а функция f(x) вообще не определена.

Пример:

f(x) = . Будет доказано, что = 1, но в точке х = 0 функция не определена, тем самым х = 0 -точка устранимого разрыва этой функции.

Если положить f(x) = , то f(x) станет непрерывной в точке х = 0, то есть разрыв будет устранён.

2) Разрыв первого рода.

Точка а называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если $ f(x) и f(x), но f(x) ¹ f(x).

Пример:

f(x) = [x]

x = n (целое) - точки разрыва первого рода этой функции.

3) Разрыв второго рода.

Точка а называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке не существует хотя бы один из односторонних пределов.

Примеры:

1) f(x) = , х = 0 - точка разрыва второго рода, так как f(+0) = +¥, f(-0) = -¥.

2) Функция Дирихле D(x)-любая точка является точкой разрыва второго рода.

Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

В частности, f(x) непрерывна на сегменте [a, b] (a < b), если она непрерывна в каждой внутренней точке сегмента, непрерывна в точке а справа и в точке b слева.

Пример:

f(x) = непрерывна на любом сегменте, в точках которого (х) не обращается в нуль.