![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Производная функции, заданной неявно
Уравнение вида , содержащее переменные
и
, иногда можно разрешить относительно
и получить в явном виде зависимость
. Например, если дано уравнение
, то из него можно получить зависимость
. Однако такое явное выражение
через
, использующее лишь элементарные функции, можно получить не из любого уравнения вида
(даже если в самом уравнении участвуют лишь элементарные функции). Например, хотя уравнение
задаёт некоторую зависимость от
, но выразить её из уравнения "в явном виде" не удаётся. Тем не менее, некоторую информацию об этой зависимости мы можем получить, и не выражая
через
. Например, в случае приведённого выше уравнения, поскольку значения
,
ему удовлетворяют, мы можем утверждать, что график этой зависимости проходит через точку
плоскости
.
Покажем, как, используя уравнение , найти производную
, не выражая
через
в явном виде. Для этого найдём производные левой и правой части уравнения по переменной
, считая
промежуточным аргументом, а потом выразим
из получающегося равенства.
Поясним сказанное на примере.
Пример 4.24 Возьмём то же уравнение и найдём производную левой части (производная правой части, очевидно, равна 0). Имеем:
Слагаемые, содержащие , оставим в левой части, а остальные перенесём направо:
откуда
Получили выражение для производной , содержащее, правда, не только
, но и
в правой части. Однако, несмотря на это, полученное выражение можно использовать для решения различных задач, связанных с производной. Например, можно решить такую задачу: найти для кривой, заданной уравнением
, уравнения касательной и нормали, проведённых в точке
. Действительно, при
мы получаем
, так что нам теперь известен угловой коэффициент касательной:
. Точка касания дана условием задачи. Поэтому уравнение касательной таково:
или
а уравнение нормали -- таково:
или
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 171 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!