Ответ№12

Определение производной. Геометрический смысл.

Пусть функция y = f (x) определена на некотором интервале (a, b). Зафиксируем x Î (a, b).

(здесь рисунок)

Дадим аргументу х приращение D х. Функция y = f (x) получит приращение D у = f (x + D х) - f (x). Отметим, что при фиксированной точке х D у является функцией только D x. Составим отношение:

= - функция аргумента D х.

Определение: Если существует , то он называется производной функции y = f (x) в точке х и обозначается f '(x). Другие обозначения: y '(x), (x), .

Примеры:

1) y = c = const. D у = f (x + D х) - f (x) = с - с = 0, = 0 Þ = 0. Итак, c ' = 0.

2) y = xⁿ (n Î N). D у = (x + D х) ⁿ - xⁿ = xⁿ + n × x^{n -1}D х + x^{n -2}(D х)² + … + (D х) ⁿ - xⁿ .

= n × x^{n -1}D х + x^{n -2}(D х) + … + (D х) ^{n -1}, = n × x^{n -1}. Итак, (xⁿ)' = n × x^{n -1} (n - натуральное число).

3) y =sin x. = = = = ×cos . ® 1 при D х ® 0 (первый замечательный предел), cos ® cos x при D х ® 0, так как cos x - непрерывная функция, поэтому = cos x. Итак, (sin x)' = cos x.

Геометрический смысл производной.

(здесь рисунок)

Углом между прямой l и осью х назовём угол a, на который нужно повернуть ось х для того, чтобы совместить её положительное направление с одним из направлений на прямой, причём - < a £ . Поворот по часовой стрелке: a > 0, иначе a < 0. Число k = tg a называется угловым коэффициентом прямой.

(здесь рисунок)

Пусть задана функция y = f (x). Рассмотрим в прямоугольной системе координат (x, y) множество точек {(x, f (x))}, x Î X - области определения f (x).

(здесь рисунок)

Это множество точек представляет собой график функции y = f (x). Проведём прямую MN. Её угол с осью х обозначим j (D х)). Прямая MN называется секущей.

Определение. Если существует j (D х) = j ₀, то прямая l, проходящая через точку M (x, f (x)) и имеющая угловой коэффициент k = tg j ₀, называется касательной к графику функции y = f (x) в точке M.

Если существует j (D х) = j ₀, то прямая l называется предельным положением секущей MN при стремлении точки M к точке N по графику функции. Поэтому говорят так: касательная к графику функции в точке М - это предельное положение секущей MN.

Докажем, что если функция y = f (x) имеет производную f '(x) в точке х, то в точке M (x, f (x)) существует касательная к графику функции и угловой коэффициент касательной k = f '(x).

Доказательство:

tg j (D x) = , откуда j (D x) = arctg , j (D x) = arctg = [так как arctg-непрерывная функция] = = arctg( ) = arctg f '(x), так как по условию = f '(x). Существование предела j (D x) при D x ® 0 и означает по определению, что в точке M (x, f (x)) существует касательная к графику функции. При этом j ₀ = j (D x) = arctg f '(x), поэтому k = tg j ₀ = f '(x). В этом и состоит геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке M (x ₀, f (x ₀)): y - f (x ₀) = f '(x ₀)(x - x ₀).