![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение производной. Геометрический смысл.
Пусть функция y = f (x) определена на некотором интервале (a, b). Зафиксируем x Î (a, b).
(здесь рисунок)
Дадим аргументу х приращение D х. Функция y = f (x) получит приращение D у = f (x + D х) - f (x). Отметим, что при фиксированной точке х D у является функцией только D x. Составим отношение:
=
- функция аргумента D х.
Определение: Если существует
, то он называется производной функции y = f (x) в точке х и обозначается f '(x). Другие обозначения: y '(x),
(x),
.
Примеры:
1) y = c = const. D у = f (x + D х) - f (x) = с - с = 0, = 0 Þ
= 0. Итак, c ' = 0.
2) y = xn (n Î N). D у = (x + D х) n - xn = xn + n × xn -1D х + xn -2(D х)2 + … + (D х) n - xn .
= n × xn -1D х +
xn -2(D х) + … + (D х) n -1,
= n × xn -1. Итак, (xn)' = n × xn -1 (n - натуральное число).
3) y =sin x. =
=
= =
×cos
.
® 1 при D х ® 0 (первый замечательный предел), cos
® cos x при D х ® 0, так как cos x - непрерывная функция, поэтому
= cos x. Итак, (sin x)' = cos x.
Геометрический смысл производной.
(здесь рисунок)
Углом между прямой l и осью х назовём угол a, на который нужно повернуть ось х для того, чтобы совместить её положительное направление с одним из направлений на прямой, причём - < a £
. Поворот по часовой стрелке: a > 0, иначе a < 0. Число k = tg a называется угловым коэффициентом прямой.
(здесь рисунок)
Пусть задана функция y = f (x). Рассмотрим в прямоугольной системе координат (x, y) множество точек {(x, f (x))}, x Î X - области определения f (x).
(здесь рисунок)
Это множество точек представляет собой график функции y = f (x). Проведём прямую MN. Её угол с осью х обозначим j (D х)). Прямая MN называется секущей.
Определение. Если существует j (D х) = j 0, то прямая l, проходящая через точку M (x, f (x)) и имеющая угловой коэффициент k = tg j 0, называется касательной к графику функции y = f (x) в точке M.
Если существует j (D х) = j 0, то прямая l называется предельным положением секущей MN при стремлении точки M к точке N по графику функции. Поэтому говорят так: касательная к графику функции в точке М - это предельное положение секущей MN.
Докажем, что если функция y = f (x) имеет производную f '(x) в точке х, то в точке M (x, f (x)) существует касательная к графику функции и угловой коэффициент касательной k = f '(x).
Доказательство:
tg j (D x) = , откуда j (D x) = arctg
,
j (D x) =
arctg
= [так как arctg-непрерывная функция] = = arctg(
) = arctg f '(x), так как по условию
= f '(x). Существование предела j (D x) при D x ® 0 и означает по определению, что в точке M (x, f (x)) существует касательная к графику функции. При этом j 0 =
j (D x) = arctg f '(x), поэтому k = tg j 0 = f '(x). В этом и состоит геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке M (x 0, f (x 0)): y - f (x 0) = f '(x 0)(x - x 0).
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 158 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!