![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Бесконечно малая величина
Последовательность называется бесконечно малой, если
. Например, последовательность чисел
— бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если
.
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо
.
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то
,
.
Бесконечно большая величина
Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при
.
Последовательность называется бесконечно большой, если
.
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если
.
Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо
.
Свойства бесконечно малых
Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то
— бесконечно большая последовательность.
Сравнение бесконечно малых
Определения
Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины
и
(либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).
Если , то
— бесконечно малая высшего порядка малости, чем
. Обозначают
.
Если , то
— бесконечно малая низшего порядка малости, чем
. Соответственно
.
Если (предел конечен и не равен 0), то
и
являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.
Это обозначается как или
(в силу симметричности данного отношения).
Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина
имеет
-й порядок малости относительно бесконечно малой
.
Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.
Эквивалентные величины
[править]Определение
Если , то бесконечно малые величины
и
называются эквивалентными (
).
Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.
При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):
, где
;
, где
;
, поэтому используют выражение:
, где
.
Примеры использования
Найти
Заменяя эквивалентной величиной
, получаем
Найти
Так как при
получим
Вычислить .
Используя формулу: , тогда как, используя калькулятор (более точные вычисления), получили:
, таким образом ошибка составила: 0,00455, то есть метод полезен, благодаря своей простоте, при грубой оценке арифметических корней близких к единице.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 194 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!