Определение. Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое единственное действительное число  (при этом разным натуральным числам n могут соответствовать и одинаковые действительные числа). В этом случае на множестве натуральных чисел определена функция:  , которая называется числовой последовательностью или просто последовательностью.
Последовательность обозначается: , n=1, 2,… или  .
Числа  ,  ,… называются членами последовательности или ее элементами, – общим членом последовательности, n – номером члена .
По определению любая последовательность содержит бесконечное множество элементов.
Часто последовательность задается при помощи формулы: ,  . В этом случае эта формула называется формулой общего члена последовательности { }. Например, =  , ;
Последовательность может быть задана и другими способами. Например, если  – число всех различных делителей числа n, то  , - последовательность, для которой =1, =2,  =2,  =3,  =2,  =4,  =2,…
Для задания последовательностей используют также рекуррентные соотношения. При таком способе задания последовательности указывают один или несколько первых ее членов и формулу, которая позволяет найти ее n -й член через предшествующие члены. Например,
a  =1, a  =  +1 при n =1, 2,…;
b =1, b  =2, b  =2 b  + b  при n  3. 
Определение. Пусть даны две числовые последовательности { a } и { b }. Суммой, разностью, произведением и частным этих последовательностей называются соответственно последовательности {  }, {  }, {  }, {  }; последнее при условии, b  0, n =1, 2,…. Произведением последовательности { a } на число k, называется последовательность { ka }.
Определение. Последовательность { a } называется возрастающей (убывающей), если для любого n  N справедливо неравенство a > a (a < a ). Последовательность { a } называется неубывающей (невозрастающей), если для любого n N справедливо неравенство a a (a  a ).
Определение. Последовательности убывающие, возрастающие, неубывающие, невозрастающие называются монотонными последовательностями. Например, а) последовательность a =n!, n N – возрастающая; б) последовательность 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9,…- неубывающая; в) последовательность 1,  , 3,  , 5,  , 7,  ,… – немонотонная.
Пример 1. Исследовать на монотонность последовательность a =  , n N.
Рассмотрим a - a  
=  при любом n N, следовательно, a >a при любом n N, то есть последовательность возрастающая.
Пример 2. Доказать, что последовательность a  =  , n N, является ограниченной.
Рассмотрим a -a  =  при любом n N, то есть a <a , следовательно, последовательность возрастает и ограничена снизу числом a  =  .
a =  при любом n N, следовательно, последовательность ограничена сверху числом 1. Последовательность, ограниченная сверху и снизу, является ограниченной.
|
