Определение. Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое единственное действительное число (при этом разным натуральным числам n могут соответствовать и одинаковые действительные числа). В этом случае на множестве натуральных чисел определена функция: , которая называется числовой последовательностью или просто последовательностью.
Последовательность обозначается: , n=1, 2,… или .
Числа , ,… называются членами последовательности или ее элементами, – общим членом последовательности, n – номером члена .
По определению любая последовательность содержит бесконечное множество элементов.
Часто последовательность задается при помощи формулы: , . В этом случае эта формула называется формулой общего члена последовательности {}. Например, =,;
Последовательность может быть задана и другими способами. Например, если – число всех различных делителей числа n, то , - последовательность, для которой =1, =2, =2, =3, =2, =4, =2,…
Для задания последовательностей используют также рекуррентные соотношения. При таком способе задания последовательности указывают один или несколько первых ее членов и формулу, которая позволяет найти ее n -й член через предшествующие члены. Например,
a=1, a= +1 при n =1, 2,…;
b=1, b=2, b=2 b+ b при n3.
Определение. Пусть даны две числовые последовательности { a} и { b}. Суммой, разностью, произведением и частным этих последовательностей называются соответственно последовательности { }, { }, {}, {}; последнее при условии, b0, n =1, 2,…. Произведением последовательности { a} на число k, называется последовательность { ka}.
Определение. Последовательность { a} называется возрастающей (убывающей), если для любого nN справедливо неравенство a> a (a< a). Последовательность { a} называется неубывающей (невозрастающей), если для любого nN справедливо неравенство aa (aa).
Определение. Последовательности убывающие, возрастающие, неубывающие, невозрастающие называются монотонными последовательностями. Например, а) последовательность a=n!, nN – возрастающая; б) последовательность 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9,…- неубывающая; в) последовательность 1, , 3, , 5, , 7, ,… – немонотонная.
Пример 1. Исследовать на монотонность последовательность a=, nN.
Рассмотрим a- a
= при любом nN, следовательно, a>a при любом nN, то есть последовательность возрастающая.
Пример 2. Доказать, что последовательность a=, nN, является ограниченной.
Рассмотрим a-a= при любом nN, то есть a<a, следовательно, последовательность возрастает и ограничена снизу числом a=.
a= при любом nN, следовательно, последовательность ограничена сверху числом 1. Последовательность, ограниченная сверху и снизу, является ограниченной.
studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования(0.006 с)...
(при этом разным натуральным числам n могут соответствовать и одинаковые действительные числа). В этом случае на множестве натуральных чисел определена функция: 
, которая называется числовой последовательностью или просто последовательностью.
Последовательность обозначается: 
.
Числа 
, 
,… называются членами последовательности или ее элементами, 
. В этом случае эта формула называется формулой общего члена последовательности { 
, 
Последовательность может быть задана и другими способами. Например, если 
– число всех различных делителей числа n, то 
, 
=2, 
=3, 
=2, 
=4, 
=2,…
Для задания последовательностей используют также рекуррентные соотношения. При таком способе задания последовательности указывают один или несколько первых ее членов и формулу, которая позволяет найти ее n -й член через предшествующие члены. Например,
a 
=1, a 
= 
+1 при n =1, 2,…;
b 
=2, b 
=2 b 
+ b 
при n 
3. 
Определение. Пусть даны две числовые последовательности { a 
}, { 
}, { 
}, { 
}; последнее при условии, b 
0, n =1, 2,…. Произведением последовательности { a 
N справедливо неравенство a 
a 
, 3, 
, 5, 
, 7, 
,… – немонотонная.
Пример 1. Исследовать на монотонность последовательность a 
, n 
= 
при любом n 
= 
, n 
= 
при любом n 
= 
.
a 
при любом n 