1. Пусть {a  } – возрастающая (убывающая) последовательность, С – некоторое число. Тогда
а) {a +С} – возрастающая (убывающая) последовательность;
б) {Сa } – возрастающая (убывающая) последовательность при С>0;
в) {Сa } – убывающая (возрастающая) последовательность при С<0.
2. Если одна из последовательностей {a } и {b } возрастающая, а другая неубывающая, то{a +b } – возрастающая последовательность; если же одна из этих последовательностей убывающая, а другая невозрастающая, то {a +b } – убывающая последовательность.
3.а) Если одна из последовательностей {a } и {b } возрастающая, а другая неубывающая, то {a b } – возрастающая последовательность при a >0, b >0 для любых n  N и {a b } – убывающая последовательность при a <0, b <0 для любых n N;
б) если одна из последовательностей {a } и {b } убывающая, а другая невозрастающая, то {a b } – убывающая последовательность при a >0, b >0 для любых n N и {a b } – возрастающая последовательность при a <0, b <0 для любых n N.
4. Если {a } – возрастающая (убывающая) последовательность, то
а) {  } – убывающая (возрастающая) последовательность при a >0 для любых n N;
б) { } – возрастающая (убывающая) последовательность при a <0 для любых n N.
5. Если все члены последовательности {a } принадлежат множеству M, которое содержится в области определения функции у=f(x), то
а) если {a } – возрастающая (убывающая) последовательность и функция у=f(x) возрастающая на множестве М, то {f(a )} – возрастающая (убывающая) последовательность;
б) если {  } – возрастающая (убывающая) последовательность и функция у=f(x) убывающая на множестве М, то {f(a )} – убывающая (возрастающая) последовательность.
Например, из свойства 5 следует, что последовательности a =  , b =lnn, с =n  являются возрастающими, а последовательности a =  , b =ln  , с =() являются убывающими.
Пример 5. Доказать, что последовательность  является возрастающей последовательностью.
Последовательность  является возрастающей как квадрат последовательности  с положительными членами по свойству 3.
Последовательность  возрастающая как сумма возрастающих последовательностей и по свойству 2, тогда последовательность,  убывающая по свойству 4, а исходная последовательность возрастающая по свойству 1.
|
