Ответ №13

Производная обратной функции.

Теорема 4.3. Пусть функция y = f (x) определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x ₀, дифференцируема в точке x ₀, причём производная f '(x ₀) ¹ 0. Тогда в некоторой окрестности точки у ₀(где у ₀ = f (x ₀)) существует обратная функция x = f ^-1(y), эта обратная функция дифференцируема в точке у ₀, и f ^-1'(y ₀)= .

Доказательство:

(рисунок)

Из условий теоремы следует: $ [ a, b ]: y = f (x) определена, строго монотонна и непрерывна на [ a, b ]. причём a < x ₀ < b. Поэтому, согласно теореме 3.5, множеством значений f (x), рассматриваемой на [ a, b ], является сегмент Y = [ f (a), f (b)], на Y существует обратная функция x = f ^-1(y), строго монотонная и непрерывная. При этом y ₀ Î (f (a), f (b)). Зададим приращение D y ¹ 0 аргументу обратной функции в точке y ₀. Обратная функция получит приращение D х = f ^-1(y ₀ + D y) - f ^-1(y ₀), причем D х ¹ 0 в силу строгой монотонности обратной функции. Рассмотрим равенство:

= . (1)

Пусть D y ® 0, тогда D х ® 0 в силу непрерывности обратной функции. Но при D х ® 0 знаменатель в правой части равенства (1) стремится к f '(x ₀), причем по условию f '(x ₀) ¹ 0. Поэтому при D y ® 0 предел правой части равен . Следовательно при D y ® 0 существует предел левой части равенства (1), то есть существует производная обратной функции в точке у ₀ и она равна : f ^-1'(y ₀)= .

Теорема доказана.

Лекция 12

Примеры:

y = sin x, - < x < . sin x Û f(x), x = arcsin y. arcsin y Û f^-1(y) " x Î (- , ) выполнены все условия теоремы 4.3

(arcsin y)' = = = =[где sin² x Û y²] = . (arcsin x)' = , -1 < x < 1.

При х ® +1 (-1): (arcsin x)' ® ¥. В таком случае говорят, что функция имеет в данной точке бесконечную производную. Геометрически это означает, что график имеет в данной точке вертикальную касательную.

(рисунок)

(arccos x)' = - -докажите сами.

y = tg x на - < x <

x = arctg y. " x Î (- , ) выполнены все условия теоремы 4.3

(arctg y)' = = cos² x = = ; (arctg x)' = .

(arcctg x)' = - - докажите сами.

Производная сложной функции.

Рассмотрим сложную функцию: y = f(t), где t = j(x), то есть y = f(j(x)) º F(x).

Теорема 4.4. Пусть функция t = j(x) дифференцируема в точке х₀, а функция y = f(t) дифференцируема в точке t₀, где t₀ = j(х₀). Тогда сложная функция F(x) = f(j(x)) дифференцируема в точке х₀, и имеет место формула F'(х₀) = f'(t₀)×j'(х₀) = f'(j(х₀))×j'(х₀).

Доказательство:

Нужно доказать, что приращение функции y = F(x) = f(j(x)) в точке х₀ можно представить в виде: Dy = f'(t₀)j'(х₀)Dx + a(Dx)Dx, (1), где a(Dx) ® 0 при Dx ® 0. a(0) = 0. Зададим в точке х₀ приращение аргумента х, равное Dx. Тогда функция t = j(x) получит приращение Dt = j(х₀ + Dх) - j(х₀). Так как t = j(x) дифференцируема в точке х₀ +, то Dt можно представить в виде: Dt = j'(х₀)Dx + b(Dx)Dx. (2), где b(Dx) ® 0 при Dx ® 0. b(0) = 0. Приращению Dt соответствует приращение Dy = f(t₀+Dt) + f'(t₀), функции y = f(t). Так как y = f(t) дифференцируема в точке t₀, то Dy можно представить в виде:

Dy = f'(t₀) Dt + g(Dt)Dt. (2), где g(Dt) ® 0 при Dt ® 0. g(0) = 0. (3)

Подставляя (2) в (3), получим:

Dy = f'(t₀ )(j'(х₀)Dx + [f'(t₀)b(Dx) + gj'(х₀) + gb(Dx)]Dx, где [f'(t₀)b(Dx) + gj'(х₀) + gb(Dx)] Û a(Dx).

Очевидно, что a(Dx) ® 0 при Dх ® 0, Dх ® 0.

Тем самым доказано равенство (1), и, значит, 4.4 доказана.

Примеры:

y = x^a (a - любое вещественное число, x > 0). x^a = e^{aln x} = e^a , где t = a ln x (a ln x Û j(x))

По теореме 4.4 получаем:

(x^a)' =(e^a)'(a ln x)'= (e^a)a = ax^a-1. (e^a=х^a),a = х). (x^a)' = ax^a-1.

В частности, если a = ,()'= x^-1/2= . Если a = -1, то = -1x^-2 = - .

Из правил и формул дифференцирования следует, что производная любой элементарной функции снова есть элементарная функция. Иными словами, класс элементарных функций замкнут относительно операции дифференцирования.

y = arccos (arctg e^x)

y' = (-sin (arctg e^x)) e^x = -tg(arctg e^x) =- .

y =[u(x)]^v(x). y =e^vlnu. y = u(x^v)' = e^vlnu.(v ln u)' = u^v(v'ln u + v u') = u^vln u v' + vu^v-1u'

(u^v)' = (u^v)' + (u^v)'